sin^-1 4/5+cos^-1 2/√5=? 

প্রশ্ন: \( \sin^{-1} \frac{4}{5} + \cos^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}} = ? \)

উত্তর: \( \tan^{-1} \frac{11}{2} \)

সমাধান:

ধরা যাক,  
\( A = \sin^{-1} \frac{4}{5} \) এবং \( B = \cos^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}} \)

প্রথমে, \( A \) এর মান নির্ণয় করি।

যেহেতু,  
\( \sin A = \frac{4}{5} \)

এবং,  
\( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \)

তাই,  
\( \cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5} \)

এখন, \( B \) এর মান নির্ণয় করি।

\( \cos B = \frac{2}{\sqrt{5}} \)

তাহলে,  
\( \sin B = \sqrt{1 - \cos^2 B} = \sqrt{1 - \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}} \)

এখন, \( A + B \) এর মান নির্ণয় করি।

\( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)

প্রতিস্থাপন করে,  
\( \sin(A + B) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) + \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \)

গুণফল হিসাব করি:  
\( \sin(A + B) = \frac{8}{5\sqrt{5}} + \frac{3}{5\sqrt{5}} = \frac{8 + 3}{5\sqrt{5}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} \)

সাধারণ রূপে,  
\( \sin(A + B) = \frac{11}{5\sqrt{5}} \)

এখন, \( \tan(A + B) \) নির্ণয় করি।  

\( \tan(A + B) = \frac{\sin(A + B)}{\cos(A + B)} \)

প্রথমে, \( \cos(A + B) \) হিসাব করি।  

\( \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \)

প্রতিস্থাপন করে,  
\( \cos(A + B) = \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right) - \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \)

গুণফল হিসাব করি:  
\( \cos(A + B) = \frac{6}{5\sqrt{5}} - \frac{4}{5\sqrt{5}} = \frac{6 - 4}{5\sqrt{5}} = \frac{2}{5\sqrt{5}} \)

এখন,  
\( \tan(A + B) = \frac{\frac{11}{5\sqrt{5}}}{\frac{2}{5\sqrt{5}}} = \frac{11}{5\sqrt{5}} \times \frac{5\sqrt{5}}{2} = \frac{11}{2} \)

অর্থাৎ,  
\( \boxed{\tan^{-1} \frac{11}{2}} \)

সুতরাং,  
\( \sin^{-1} \frac{4}{5} + \cos^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}} = \boxed{\tan^{-1} \frac{11}{2}} \)