a এর মান কত হলে 1/2hati+1/3hatj+ahatk ভেক্টরটি একটি একক ভেক্টর হবে? 

🤔 প্রশ্ন: \( \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} + a\hat{k} \) ভেক্টরটি একক ভেক্টর হবে, \( a \) এর মান কত হলে?

💡 একক ভেক্টর হওয়ার শর্ত:

কোনো ভেক্টর একক ভেক্টর হবে যদি তার মান 1 হয়। অর্থাৎ, যদি \( \vec{v} = \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} + a\hat{k} \) হয়, তবে \( |\vec{v}| = 1 \) হতে হবে।

📏 ভেক্টরের মান নির্ণয়:

\( |\vec{v}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{3})^2 + a^2} \)

🎯 শর্তানুসারে:

\( \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{3})^2 + a^2} = 1 \)

বর্গ করে পাই, \( (\frac{1}{2})^2 + (\frac{1}{3})^2 + a^2 = 1 \)

\( \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + a^2 = 1 \)

➕ সরলীকরণ:

\( a^2 = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \)

\( a^2 = 1 - \frac{9 + 4}{36} \)

\( a^2 = 1 - \frac{13}{36} \)

\( a^2 = \frac{36 - 13}{36} \)

\( a^2 = \frac{23}{36} \)

✅ সুতরাং, \( a = \pm\sqrt{\frac{23}{36}} = \pm\frac{\sqrt{23}}{6} \)

🏆 উত্তর: \( a = \pm\frac{\sqrt{23}}{6} \)