int_1^(sqrte) lnxdx  এর মান কোনটি?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(\int_1^{\sqrt{e}} \ln x \, dx\) এর মান কোনটি? সমাধান: প্রথমে, ইন্টিগ্রালটি হলো: \[ I = \int_1^{\sqrt{e}} \ln x \, dx \] অন্তর্ভুক্ত ইন্টিগ্রেশন পদ্ধতি (by parts) প্রয়োগ করি: ধরি, \(u = \ln x \Rightarrow du = \frac{1}{x} dx\) \(dv = dx \Rightarrow v = x\) তাহলে, \[ I = uv \bigg|_1^{\sqrt{e}} - \int_1^{\sqrt{e}} v \, du \] \[ I = x \ln x \bigg|_1^{\sqrt{e}} - \int_1^{\sqrt{e}} x \cdot \frac{1}{x} dx \] \[ I = x \ln x \bigg|_1^{\sqrt{e}} - \int_1^{\sqrt{e}} 1 \, dx \] এখন, প্রতিসীমা মূল্য নির্ণয় করি: প্রথম অংশ: \[ x \ln x \bigg|_1^{\sqrt{e}} = (\sqrt{e} \cdot \ln \sqrt{e}) - (1 \cdot \ln 1) \] \[ = \sqrt{e} \cdot \frac{1}{2} \ln e - 0 = \sqrt{e} \cdot \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2} \sqrt{e} \] দ্বিতীয় অংশ: \[ \int_1^{\sqrt{e}} 1 \, dx = (\sqrt{e} - 1) \] অতএব, \[ I = \frac{1}{2} \sqrt{e} - (\sqrt{e} - 1) = \frac{1}{2} \sqrt{e} - \sqrt{e} + 1 \] \[ I = \left(\frac{1}{2} \sqrt{e} - \sqrt{e}\right) + 1 = -\frac{1}{2} \sqrt{e} + 1 \] সুতরাং, \[ \boxed{ \int_1^{\sqrt{e}} \ln x \, dx = 1 - \frac{1}{2} \sqrt{e} } \] **উত্তর:** \( \boxed{1 - \frac{1}{2} \sqrt{e}} \)