Let P, Q, R and S be the points on the plane with position vector -2hati-hatj ,4hati ,3hati+ 3hatj and -3hati+2hatj respectively. The quadrilateral PQRS must be a-

🤔 দেওয়া আছে, চারটি বিন্দু P, Q, R, S এর অবস্থান ভেক্টর:

\( \overrightarrow{OP} = -2\hat{i} - \hat{j} \)

\( \overrightarrow{OQ} = 4\hat{i} \)

\( \overrightarrow{OR} = 3\hat{i} + 3\hat{j} \)

\( \overrightarrow{OS} = -3\hat{i} + 2\hat{j} \)

✍️ এখন, PQRS চতুর্ভুজের বাহুগুলোর ভেক্টর বের করি:

\( \overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{OQ} - \overrightarrow{OP} = (4\hat{i}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 6\hat{i} + \hat{j} \)

\( \overrightarrow{QR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OQ} = (3\hat{i} + 3\hat{j}) - (4\hat{i}) = -\hat{i} + 3\hat{j} \)

\( \overrightarrow{RS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OR} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (3\hat{i} + 3\hat{j}) = -6\hat{i} - \hat{j} \)

\( \overrightarrow{SP} = \overrightarrow{OP} - \overrightarrow{OS} = (-2\hat{i} - \hat{j}) - (-3\hat{i} + 2\hat{j}) = \hat{i} - 3\hat{j} \)

👀 আমরা দেখতে পাচ্ছি:

\( \overrightarrow{PQ} = - \overrightarrow{RS} \) এবং \( \overrightarrow{QR} = - \overrightarrow{SP} \)

সুতরাং, PQ || RS এবং QR || SP. ∴ PQRS একটি সামান্তরিক। parallelogram ✅

📏 এখন, বাহুগুলোর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করি:

\( |\overrightarrow{PQ}| = \sqrt{6^2 + 1^2} = \sqrt{37} \)

\( |\overrightarrow{QR}| = \sqrt{(-1)^2 + 3^2} = \sqrt{10} \)

যেহেতু \( |\overrightarrow{PQ}| \neq |\overrightarrow{QR}| \), তাই PQRS একটি রম্বস নয়। rhombus ❌

📐 কর্ণগুলো পরীক্ষা করি:

\( \overrightarrow{PR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OP} = (3\hat{i} + 3\hat{j}) - (-2\hat{i} - \hat{j}) = 5\hat{i} + 4\hat{j} \)

\( \overrightarrow{QS} = \overrightarrow{OS} - \overrightarrow{OQ} = (-3\hat{i} + 2\hat{j}) - (4\hat{i}) = -7\hat{i} + 2\hat{j} \)

\( \overrightarrow{PR} \cdot \overrightarrow{QS} = (5)(-7) + (4)(2) = -35 + 8 = -27 \neq 0 \)

যেহেতু কর্ণদ্বয় লম্ব নয়, তাই PQRS একটি আয়তক্ষেত্রও নয়। rectangle ❌

🎉 সুতরাং, PQRS একটি সামান্তরিক, যা রম্বসও নয় এবং আয়তক্ষেত্রও নয়।