veca=hati+2hatj,vecb=-hati+3hatj+hatk ভেক্টর দুটি কোনো সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে।

সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল কত বর্গ একক?

প্রথমে ভেক্টর দুটি দেওয়া হলো:

veca = hati + 2hatj
vecb = -hati + 3hatj + hatk

এখন, এই ভেক্টর দুটি কোন সামান্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে। অর্থাৎ, এই ভেক্টর দুটি সমান্তরালে বা বিপরীতমুখী, অর্থাৎ, একটি ভেক্টর অন্য ভেক্টরের গুণফল।

তাই, প্রথমে ভেক্টর দুটি একে অপরের সাথে অনুপাতিক কিনা তা পরীক্ষা করি।

প্রথম ভেক্টর:
veca = hati + 2hatj
দ্বিতীয় ভেক্টর:
vecb = -hati + 3hatj + hatk

অতএব, যদি দুটি ভেক্টর সামান্তরিক হয়, তাহলে তাদের মধ্যে অনুপাত হবে:

vecb = λ * veca

তাহলে, উপাদান অনুযায়ী:

-হাতি = λ * হাতি  => -1 = λ

3 = λ * 2 => 3 = 2λ => λ = 3/2

হাতি এর জন্য λ ≠ 3/2, কারণ প্রথমে λ = -1। তাহলে, এই দুটি ভেক্টর সমান্তরাল নয়। তবে, তারা আংশিকভাবে সন্নিহিত হতে পারে।


এখন, যদি ভেক্টর দুটি সন্নিহিত হয়, তাহলে তাদের মধ্যে কেবলমাত্র একটির সাথে অন্যটির দিক সমান্তরাল থাকতে পারে।

অতএব, ভেক্টর veca এবং vecb এর মধ্যে কোটিপ্রোডাক্ট পরীক্ষা করি:

veca · vecb = |veca| * |vecb| * cosθ


প্রথমে, |veca| এবং |vecb| এর মান নির্ণয় করি:

|veca| = √(1^2 + 2^2) = √(1 + 4) = √5
|vecb| = √((-1)^2 + 3^2 + 1^2) = √(1 + 9 + 1) = √11


এখন, ডট প্রোডাক্ট:
veca · vecb = (hati + 2hatj) · (-hati + 3hatj + hatk)


= (1)(-1) + (2)(3) + (0)(1) = -1 + 6 + 0 = 5


যেহেতু, ভেক্টর দুটি সন্নিহিত, তাদের ডট প্রোডাক্টের মান হবে:
veca · vecb = |veca| * |vecb| * cosθ
=> 5 = √5 * √11 * cosθ
=> cosθ = 5 / (√5 * √11) = 5 / √55


=> cosθ = 5 / √55


এখন, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করতে চাই, যা সাধারণত দুটি সন্নিহিত বাহুর মধ্যে তৈরি কোণের কোণার ক্ষেত্রফল।

সুতরাং, যদি এই দুই ভেক্টর থেকে একটি সামান্তরিকের বাহু তৈরি হয়, তবে তার ক্ষেত্রফল হবে:
A = |veca| * |vecb| * sinθ


sinθ = √(1 - cos^2θ) = √(1 - (5/√55)^2) = √(1 - 25/55) = √( (55/55) - (25/55) ) = √(30/55) = √30 / √55


অতএব, ক্ষেত্রফল:
A = |veca| * |vecb| * sinθ = √5 * √11 * (√30 / √55)


= (√5 * √11) * (√30 / √55) = √(5*11) * (√30 / √55) = √55 * (√30 / √55) = √30


অতএব, সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল হলো: √30