কোন ত্রিভুজের দুই বাহু \( \vec{u} = 2\hat{i} - \hat{j} \) এবং \( \vec{v} = \hat{i} + \hat{j} \) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত হলে ঐ ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল কত?

Explanation: Hints: কোন ত্রিভুজের দুটি বাহু \(\mathbf{a}\) ও \(\mathbf{b}\) ভেক্টর দ্বারা নির্দেশিত হলে এর ক্ষেত্রফল \(\frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}|\) Solve: \[ \mathbf{u} = 2\mathbf{i} - \mathbf{j}, \quad \mathbf{v} = \mathbf{i} + \mathbf{j} \\ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\cdot 0 - \mathbf{j}\cdot 0 + \mathbf{k}(2 + 1) = 3\mathbf{k} \\ \therefore |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \sqrt{3^2} = 3 \quad \therefore \text{ক্ষেত্রফল } = \frac{1}{2} \times |\mathbf{u} \times \mathbf{v}| = \frac{3}{2} \] Ans. (A)

Another Explanation (5): ```html

ধরি, ত্রিভুজের দুইটি বাহু \( \vec{u} \) এবং \( \vec{v} \) দ্বারা নির্দেশিত।

যেখানে, \( \vec{u} = 2\hat{i} - \hat{j} \) এবং \( \vec{v} = \hat{i} + \hat{j} \)।

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য \( \vec{u} \) এবং \( \vec{v} \) এর ক্রস গুণফল নির্ণয় করতে হবে।

\( \vec{u} \times \vec{v} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix} \)

\( = \hat{i}((-1) \cdot 0 - 0 \cdot 1) - \hat{j}(2 \cdot 0 - 0 \cdot 1) + \hat{k}(2 \cdot 1 - (-1) \cdot 1) \)

\( = \hat{i}(0) - \hat{j}(0) + \hat{k}(2 + 1) \)

\( = 0\hat{i} + 0\hat{j} + 3\hat{k} \)

\( \vec{u} \times \vec{v} = 3\hat{k} \)

এখন, \( |\vec{u} \times \vec{v}| = |3\hat{k}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{9} = 3 \)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল \( = \frac{1}{2} |\vec{u} \times \vec{v}| \)

\( = \frac{1}{2} \cdot 3 \)

\( = \frac{3}{2} \) বর্গ একক। ক্ষেত্রফল অবশ্যই ধনাত্মক ➕ হবে।

অতএব, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল \( \frac{3}{2} \)। 🎉

```