A box has edges from (0,0,0) to (3,1,3) and (1,3,1) and (1,1,3). Find its volume.

ধরি, ভেক্টর তিনটি হলো:

\(\vec{a} = (3, 1, 3) - (0, 0, 0) = (3, 1, 3)\)

\(\vec{b} = (1, 3, 1) - (0, 0, 0) = (1, 3, 1)\)

\(\vec{c} = (1, 1, 3) - (0, 0, 0) = (1, 1, 3)\)

সামান্তরিকের ঘনফল নির্ণয়ের জন্য, আমাদের এই তিনটি ভেক্টরের মিশ্র গুণফল (scalar triple product) বের করতে হবে।

মিশ্র গুণফল, V = |\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\)|

প্রথমে, \(\vec{b} \times \vec{c}\) নির্ণয় করি:

\(\vec{b} \times \vec{c} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3 \cdot 3 - 1 \cdot 1) - \hat{j}(1 \cdot 3 - 1 \cdot 1) + \hat{k}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 1)\)

\(= \hat{i}(9 - 1) - \hat{j}(3 - 1) + \hat{k}(1 - 3) = 8\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k} = (8, -2, -2)\)

এখন, \(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c})\) নির্ণয় করি:

\(\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = (3, 1, 3) \cdot (8, -2, -2) = 3 \cdot 8 + 1 \cdot (-2) + 3 \cdot (-2)\)

\(= 24 - 2 - 6 = 16\)

অতএব, ঘনফল V = |16| = 16

সুতরাং, বাক্সটির আয়তন 16 ঘন একক। 🥳