AB=3hati+2hatj-hatk  এবং AC=5hati-hatj+2hatkসামান্তরিকের দু'টি বাহু হলে সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল কত?

দেওয়া আছে, সামান্তরিকের দুটি বাহু \( \vec{AB} = 3\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k} \) এবং \( \vec{AC} = 5\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \)।

সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের জন্য \( \vec{AB} \) এবং \( \vec{AC} \) এর ক্রস গুণফল (\(\vec{AB} \times \vec{AC}\)) বের করতে হবে। তারপর সেটির পরম মান (magnitude) নির্ণয় করতে হবে। ক্ষেত্রফল হবে নির্ণিত মানের সমান।

\(\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 2 & -1 \\ 5 & -1 & 2 \end{vmatrix}\)

\(= \hat{i} \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - \hat{j} \begin{vmatrix} 3 & -1 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + \hat{k} \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 5 & -1 \end{vmatrix}\)

\(= \hat{i} (2 \times 2 - (-1) \times (-1)) - \hat{j} (3 \times 2 - (-1) \times 5) + \hat{k} (3 \times (-1) - 2 \times 5)\)

\(= \hat{i} (4 - 1) - \hat{j} (6 + 5) + \hat{k} (-3 - 10)\)

\(= 3\hat{i} - 11\hat{j} - 13\hat{k}\)

এখন, ক্রস গুণফলের পরম মান:

\(|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(3)^2 + (-11)^2 + (-13)^2}\)

\(= \sqrt{9 + 121 + 169}\)

\(= \sqrt{299}\)

\(\approx 17.2916\) বর্গ একক। ক্ষেত্রফল সবসময় বর্গ এককে হয়। 📏

অতএব, সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল \( \approx 17.2916 \) বর্গ একক। ✅