পৃথিবীর চতুর্দিকে r ব্যাসার্ধের কক্ষপথে V বেগে একটি উপগ্রহ ঘুরছে। কক্ষপথের ব্যাসার্ধ 1% কমলে এর গতি শতকরা কত বৃদ্ধি পাবে?

Explanation:

Another Explanation (5):

ব্যাখ্যা:

আমরা জানি, \(r\) ব্যাসার্ধের কক্ষপথে \(V\) বেগে ঘূর্ণায়মান উপগ্রহের ক্ষেত্রে, \[ V = \sqrt{\frac{GM}{r}} \] যেখানে, \(G\) মহাকর্ষীয় ধ্রুবক এবং \(M\) পৃথিবীর ভর। যেহেতু \(G\) ও \(M\) ধ্রুবক, তাই আমরা লিখতে পারি, \[ V \propto \frac{1}{\sqrt{r}} \] এখন, কক্ষপথের ব্যাসার্ধ \(1\%\) কমালে নতুন ব্যাসার্ধ হবে, \[ r' = r - 0.01r = 0.99r \] সুতরাং, নতুন বেগ \(V'\) হবে, \[ V' \propto \frac{1}{\sqrt{0.99r}} \] \[ \frac{V'}{V} = \sqrt{\frac{r}{0.99r}} = \sqrt{\frac{1}{0.99}} \approx 1.0050378 \] বেগের শতকরা বৃদ্ধি, \[ \frac{V' - V}{V} \times 100 = \left(\frac{V'}{V} - 1\right) \times 100 = (1.0050378 - 1) \times 100 \approx 0.50378\% \] অতএব, বেগের বৃদ্ধি প্রায় \(0.5\%\)। 🤔 যদি আমরা \(1\%\) এর আসন্ন মান নেই, ধরি, \(\frac{dV}{V} = -\frac{1}{2} \frac{dr}{r}\) অতএব, \(\frac{dV}{V} \times 100 = -\frac{1}{2} \times (-1) = 0.5\%\) সুতরাং, গতি প্রায় \(0.5\%\) বৃদ্ধি পাবে। 🥳 কিন্তু প্রদত্ত উত্তর \(1\%\), যা সঠিক নয়। সম্ভবত প্রশ্নকর্তা \(1\% \approx 0.5\% \times 2\) ধরে approximation করেছেন। 🙏