\( \left| \begin{matrix} \beta + 2 & 3 \\ 5 & \beta \end{matrix} \right| \) ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমিক হলে \( \beta \) এর মান কী?

Another Explanation (5): প্রশ্ন অনুযায়ী, ম্যাট্রিক্সটি হলো: \[ \begin{bmatrix} \beta + 2 & 3 \\ 5 & \beta \end{bmatrix} \] এবং এই ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমিক হলে অর্থাৎ, এর ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হলে: \[ \det = 0 \] ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি: \[ \det = (\beta + 2) \times \beta - (3 \times 5) \] \[ = \beta^2 + 2\beta - 15 \] অতএব, সমাধান হলো: \[ \beta^2 + 2\beta - 15 = 0 \] এখন, এই কোয়াড্রাটিক সমীকরণ সমাধান করি: \[ \beta^2 + 2\beta - 15 = 0 \] সাধারণ সমাধান সূত্র: \[ \beta = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] এখানে, \(a=1\), \(b=2\), \(c=-15\) অর্থাৎ, \[ \beta = \frac{-2 \pm \sqrt{(2)^2 - 4 \times 1 \times (-15)}}{2} \] \[ = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} \] \[ = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ = \frac{-2 \pm 8}{2} \] প্রথম সমাধান: \[ \beta = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] দ্বিতীয় সমাধান: \[ \beta = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \] অতএব, ম্যাট্রিক্সটি ব্যাতিক্রমিক হলে: \[ \boxed{\beta = 3, \text{ অথবা } \beta = -5} \]