[(1,3,λ+2),(2,4,8),(3,5,10)] একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে, λ এর মান—
সঠিক উত্তরঃ
C.
4
Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের দেওয়া ম্যাট্রিক্সটি হলো:
\[
A = \begin{bmatrix}
1 & 3 & \lambda + 2 \\
2 & 4 & 8 \\
3 & 5 & 10
\end{bmatrix}
\]
একটি ম্যাট্রিক্স ব্যতিক্রমী (singular) হলে, তার ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হবে। অর্থাৎ:
\[
\det(A) = 0
\]
এখন, ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:
\[
\det(A) =
\begin{vmatrix}
1 & 3 & \lambda + 2 \\
2 & 4 & 8 \\
3 & 5 & 10
\end{vmatrix}
\]
অভ্যন্তরীণ ডিটারমিন্যান্ট হিসাব:
\[
\det(A) = 1 \times
\begin{vmatrix}
4 & 8 \\
5 & 10
\end{vmatrix}
- 3 \times
\begin{vmatrix}
2 & 8 \\
3 & 10
\end{vmatrix}
+ (\lambda + 2) \times
\begin{vmatrix}
2 & 4 \\
3 & 5
\end{vmatrix}
\]
প্রতিটি 2x2 ম্যাট্রিক্সের ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করি:
1. \(\begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} = (4 \times 10) - (8 \times 5) = 40 - 40 = 0\)
2. \(\begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 10 \end{vmatrix} = (2 \times 10) - (8 \times 3) = 20 - 24 = -4\)
3. \(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = (2 \times 5) - (4 \times 3) = 10 - 12 = -2\)
এখন, ডিটারমিন্যান্ট:
\[
\det(A) = 1 \times 0 - 3 \times (-4) + (\lambda + 2) \times (-2)
\]
\[
\det(A) = 0 + 12 - 2(\lambda + 2)
\]
এখন, এটি শূন্যের সমান হবে:
\[
12 - 2(\lambda + 2) = 0
\]
\[
12 - 2\lambda - 4 = 0
\]
\[
8 - 2\lambda = 0
\]
\[
2\lambda = 8
\]
\[
\lambda = 4
\]
অতএব, \(\lambda\) এর মান হলো **4**।
সমাধান:
প্রথমে, ম্যাট্রিক্সটি হলো:
A = <table border="1">1 3 \(\lambda + 2\) 2 4 8 </table> 3 5 10
একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের জন্য, ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হতে হবে:
\(\det(A) = 0\)
ডিটারমিন্যান্ট হিসাব করলে:
\[
\det(A) = 1 \times \begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} - 3 \times \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 10 \end{vmatrix} + (\lambda + 2) \times \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{vmatrix}
\]
প্রতিটি 2x2 ডিটারমিন্যান্ট:
- \(\begin{vmatrix} 4 & 8 \\ 5 & 10 \end{vmatrix} = 0\)
- \(\begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 3 & 10 \end{vmatrix} = -4\)
- \(\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 5 \end{vmatrix} = -2\)
অতএব,
\[ \det(A) = 0 + 12 - 2(\lambda + 2) = 0 \]
সমাধান:
\[ 12 - 2\lambda - 4 = 0 \Rightarrow 8 - 2\lambda = 0 \Rightarrow 2\lambda = 8 \Rightarrow \lambda = 4 \]
অতএব, \(\lambda = 4\).