3 × 3 আকারের কর্ণ ম্যাট্রিক্স D এর জন্য |D| = 20 হলে ।(2D)^-1 | এর মান কত?

Explanation: Hints: কর্ণ ম্যাট্রিক্স, D = \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix}; 2D = \begin{bmatrix} 2a & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2c \end{bmatrix} Solve: |D| = 20; |D| = \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{vmatrix} 2D = \begin{bmatrix} 2a & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2c \end{bmatrix} \therefore |2D| = \begin{vmatrix} 2a & 0 & 0 \\ 0 & 2b & 0 \\ 0 & 0 & 2c \end{vmatrix} = 2^3 \begin{vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{vmatrix} = 8 \times 20 = 160 \therefore |(2D)^{-1}| = \frac{1}{|2D|} = \frac{1}{160} Ans. (A) ব্যাখ্যা: ম্যাট্রিক্সের সাথে কোন কিছু গুণ অবস্থায় থাকলে তা ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেকটা ভেক্টর সাথে গুণ অবস্থায় থাকে। কিন্তু নির্ধায়কের সাথে কোন সংখ্যা গুণ অবস্থায় থাকলে অর্থ হল সেটি কোন সারির সাথে অথবা কোন কলামের সাথে গুণ অবস্থায় আছে। |2D| এর ক্ষেত্রে প্রথম সারি \begin{vmatrix} 2a & 0 & 0 \end{vmatrix} থেকে একটি 2; একইভাবে দ্বিতীয় সারি ও তৃতীয় সারি থেকে একটি একটি করে দুটি 2 নির্ধায়কের বাইরে এসেছে। ফলে মোট 2 \times 2 \times 2 = 2^3 বাইরে বের হয়ে এসেছে। Shortcut: n স্কেলের A ম্যাট্রিক্সের জন্য, |(mA)| = m^n|A| এ প্রশ্নে n = 3, তাই D ম্যাট্রিক্সের জন্য, |(2D)^{-1}| = \frac{1}{|2D|} = \frac{1}{2^3|D|} = \frac{1}{160} Ans. (A)

Another Explanation (5): একটি \(3 \times 3\) আকারের কর্ণ ম্যাট্রিক্স D এর জন্য, \(|D| = 20\)। আমাদের \(|(2D)^{-1}|\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, \(|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}\) এবং \(|kA| = k^n |A|\), যেখানে A একটি \(n \times n\) ম্যাট্রিক্স এবং k একটি স্কেলার। এখানে, D একটি \(3 \times 3\) ম্যাট্রিক্স, সুতরাং \(n = 3\)। তাহলে, \(|2D| = 2^3 |D| = 8|D|\)। যেহেতু \(|D| = 20\), তাই \(|2D| = 8 \times 20 = 160\). এখন, \(|(2D)^{-1}| = \frac{1}{|2D|} = \frac{1}{160}\). 🎉 অতএব, \(|(2D)^{-1}|\) এর মান \(\frac{1}{160}\).