\( \vec{P} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k} \) ভেক্টরের উপর \( \vec{Q} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \) ভেক্টরের অভিক্ষেপ-

Another Explanation (5):

প্রথমে, ভেক্টর \(\vec{P}\) এবং \(\vec{Q}\) দেওয়া হলো:

• \(\vec{P} = 5\hat{i} - 3\hat{j} + 2\hat{k}\)
• \(\vec{Q} = 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}\)

ভেক্টর \(\vec{Q}\) এর উপর \(\vec{P}\) এর অভিক্ষেপ (projection) হলো:

\(\text{proj}_{\vec{Q}} \vec{P} = \left( \frac{\vec{P} \cdot \vec{Q}}{|\vec{Q}|^2} \right) \vec{Q}\)

প্রথমে, \(\vec{P} \cdot \vec{Q}\) গণনা করি:

\[ \vec{P} \cdot \vec{Q} = (5)(2) + (-3)(1) + (2)(-2) = 10 - 3 - 4 = 3 \]

এবং, \(|\vec{Q}|\) এর মান হলো:

\[ |\vec{Q}| = \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3 \]

অতএব, \(|\vec{Q}|^2 = 9\)

অভিক্ষেপের ভেক্টর মান হবে:

\[ \text{proj}_{\vec{Q}} \vec{P} = \left( \frac{3}{9} \right) \vec{Q} = \frac{1}{3} \left( 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \right) \]

অর্থাৎ, অভিক্ষেপের ভেক্টর:

\[ \boxed{ \frac{1}{3} \left( 2\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k} \right) } \]

এখন, এই অভিক্ষেপের ভেক্টরের দৈর্ঘ্য বের করি:

\[ \left| \text{proj}_{\vec{Q}} \vec{P} \right| = \frac{1}{3} \sqrt{(2)^2 + (1)^2 + (-2)^2} = \frac{1}{3} \sqrt{4 + 1 + 4} = \frac{1}{3} \sqrt{9} = \frac{3}{3} = 1 \]

অতএব, অভিক্ষেপের ভেক্টরের দৈর্ঘ্য হলো:

\[ \boxed{ \frac{3}{\sqrt{38}} } \]

তাই, অভিক্ষেপের মানের মান হলো \(\frac{3}{\sqrt{38}}\)।