a এর মান কত হলে $ \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} + a\hat{k} $ ভেক্টরটি একটি একক ভেক্টর হবে ?

Another Explanation (5):

একটি ভেক্টর যদি একক ভেক্টর হয়, তাহলে তার দৈর্ঘ্য বা মান ১ হওয়া প্রয়োজন। ধরা যাক, ভেক্টরটি হলো:

$\vec{A} = \frac{1}{2} \hat{i} + \frac{1}{3} \hat{j} + a \hat{k}$

এবং এর মান বা দৈর্ঘ্য হবে:

$|\vec{A}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 + a^2}$

যেহেতু এটি একটি একক ভেক্টর, তাই:

$|\vec{A}| = 1$

অর্থাৎ:

$\sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + a^2} = 1$

দুটি পাশের বর্গ করি:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} + a^2 = 1$

প্রথমে, যোগফল নির্ণয় করি:

$\frac{1}{4} + \frac{1}{9} = \frac{9}{36} + \frac{4}{36} = \frac{13}{36}$

অতএব, সমীকরণ হয়:

$\frac{13}{36} + a^2 = 1$

এখানে থেকে, a এর মান নির্ণয় করি:

$a^2 = 1 - \frac{13}{36} = \frac{36}{36} - \frac{13}{36} = \frac{23}{36}$

অতএব, a এর মান হবে:

$a = \pm \sqrt{\frac{23}{36}} = \pm \frac{\sqrt{23}}{6}$

a এর মান কত হলে \( \frac{1}{2}\hat{i} + \frac{1}{3}\hat{j} + a\hat{k} \) ভেক্টরটি একটি একক ভেক্টর হবে ?