Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে, দেওয়া রেখার সমীকরণ:
\[
2x + 3y + 4 = 0
\]
এর সুত্রানুযায়ী, রেখাটির ধ্রুবক (normal vector) হলো:
\[
\vec{n} = (2, 3)
\]
রেখাটির ধ্রুবক ভেক্টর দিয়ে, লম্ব রেখার জন্য, তার ধ্রুবক ভেক্টর হবে, যার সাথে এই রেখাটির ধ্রুবক ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ ৯০° হবে। অর্থাৎ, যদি ধ্রুবক ভেক্টর \(\vec{n_1} = (2, 3)\), তবে লম্ব রেখার ধ্রুবক ভেক্টর \(\vec{n_2}\) হবে, যা \(\vec{n_1}\) এর সঙ্গে স্কেলার গুণফলের শূন্যতা রাখে।
অর্থাৎ:
\[
\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0
\]
ধরা যাক, লম্ব রেখার সমীকরণ:
\[
A x + B y + C = 0
\]
তাহলে, এর ধ্রুবক ভেক্টর:
\[
\vec{n_2} = (A, B)
\]
অর্থাৎ, আমাদের প্রয়োজন:
\[
(2, 3) \cdot (A, B) = 0
\]
\[
2A + 3B = 0
\]
এখানে, \(A\) ও \(B\) এর মান নির্ণয় করতে পারি:
\[
2A + 3B = 0 \Rightarrow 2A = -3B \Rightarrow A = -\frac{3}{2} B
\]
সুতরাং, লম্ব রেখার সমীকরণ:
\[
A x + B y + C = 0
\]
এখানে, \(A = -\frac{3}{2} B\)
অতএব, সমীকরণ:
\[
-\frac{3}{2} B x + B y + C = 0
\]
বিলগ্ন করে সব গুণফল পূর্ণসংখ্যা করতে, \(B\) কে 2 দ্বারা গুণ করি:
\[
-3 x + 2 y + 2 C = 0
\]
এখানে, \(2C\) কে নতুন ধ্রুবক হিসেবে ধরি, \(D = 2C\), তাহলে:
\[
-3 x + 2 y + D = 0
\]
এখন, সরলরেখা যে বিন্দু দিয়ে যায়, তা হ??ো \((3, -2)\)। এই বিন্দু রেখার সমীকরণে বসিয়ে দেখি:
\[
-3(3) + 2(-2) + D = 0
\]
\[
-9 - 4 + D = 0
\]
\[
D = 13
\]
অতএব, রেখার সমীকরণ:
\[
-3x + 2y + 13 = 0
\]
অথবা, সাধারণ রূপে:
\[
3x - 2y - 13 = 0
\]
**উত্তর: \(\boxed{3x - 2y - 13 = 0}\)**
