Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ হলো:
\[
(3k+1)x^2 + (11 + k)x + 9 = 0
\]
এখানে, \(a = 3k + 1\), \(b = 11 + k\), এবং \(c = 9\)।
একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলধন্যের গুণফল হল:
\[
\Delta = b^2 - 4ac
\]
যেখানে, মূলধন্যের জটিল সংখ্যা হওয়ার জন্য দরকার হলো:
\[
\Delta < 0
\]
আসুন, \(\Delta\) এর মান নির্ণয় করি:
\[
\Delta = (11 + k)^2 - 4(3k + 1)(9)
\]
প্রথমে, বর্গের মান:
\[
(11 + k)^2 = 121 + 22k + k^2
\]
অপরদিকে:
\[
4(3k + 1)(9) = 36(3k + 1) = 108k + 36
\]
অতএব,
\[
\Delta = 121 + 22k + k^2 - (108k + 36) = k^2 + 22k + 121 - 108k - 36
\]
সরলীকরণ করি:
\[
\Delta = k^2 + (22k - 108k) + (121 - 36) = k^2 - 86k + 85
\]
মূলধন্যের জটিল সংখ্যা হওয়ার জন্য:
\[
\Delta < 0
\]
অর্থাৎ,
\[
k^2 - 86k + 85 < 0
\]
এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা। এর শূন্যবিন্দু নির্ণয় করি:
\[
k^2 - 86k + 85 = 0
\]
সমাধান:
\[
k = \frac{86 \pm \sqrt{86^2 - 4 \times 1 \times 85}}{2}
\]
গাণিতিক মান নির্ণয়:
\[
86^2 = 7396
\]
\[
4 \times 85 = 340
\]
অতএব,
\[
k = \frac{86 \pm \sqrt{7396 - 340}}{2} = \frac{86 \pm \sqrt{7056}}{2}
\]
সাধারণভাবে,
\[
\sqrt{7056} = 84
\]
(কারণ \(84^2 = 7056\))
অতএব,
\[
k = \frac{86 \pm 84}{2}
\]
দুটি মান:
\[
k_1 = \frac{86 + 84}{2} = \frac{170}{2} = 85
\]
\[
k_2 = \frac{86 - 84}{2} = \frac{2}{2} = 1
\]
তাহলে, দ্বিঘাতের মানের জন্য:
\[
k^2 - 86k + 85 < 0
\]
এই অসমতা তখন সত্য হবে যখন:
\[
k \text{ এর মান } (k_2, k_1) \text{ এর মধ্যে, অর্থাৎ } 1 < k < 85
\]
**উত্তর:**
\[
\boxed{
\text{মূলধন্যের জটিল সংখ্যা হওয়ার জন্য, } \quad 1 < k < 85
}
\]
