\( A + B + C = \pi \) হলে \( \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = ? \)
JUUnit-HSet-3উচ্চতর গণিত প্রথম পত্রসংযুক্ত কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাতদুইটি ত্রিকোণমিতিক অনুপাতের গুণফল ও যোগফল (Topic Practice)JU - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥
সঠিক উত্তরঃ
D.
\( 1 - 2 \cos A \cos B \cos C \)
Another Explanation (5):
প্রশ্ন:
যদি \(A + B + C = \pi\) হয়, তবে \( \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C \) এর মান কত?
উত্তর:
আমরা দেখব যে,
\[ \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \cos A \cos B \cos C \]
পূর্ণ সমাধান:
প্রথমে, আমরা যোগফল \(A + B + C = \pi\) থেকে একটি গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক বের করব।
আমরা জানি,
\[ \cos(A + B + C) = \cos \pi = -1 \] এবং, কৌসের যোগফল সূত্র অনুযায়ী, \[ \cos(A + B + C) = \cos A \cos B \cos C - \sin A \sin B \sin C \] অতএব, \[ -1 = \cos A \cos B \cos C - \sin A \sin B \sin C \] এখন, আমরা \(\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C\) এর মান নির্ণয় করব। প্রথমে, আমরা \(\sin^2 A = 1 - \cos^2 A\), ইত্যাদি ব্যবহার করব। এটি করতে, চলুন \(\cos A, \cos B, \cos C\) এর উপর ভিত্তি করে একটি সূত্র ব্যবহার করি। আমরা জানি, \[ (\cos A + \cos B + \cos C)^2 = \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2 (\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) \] তাহলে, \[ \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = (\cos A + \cos B + \cos C)^2 - 2 (\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A) \] অতএব, আমাদের মূল লক্ষ্য হল \(\cos A + \cos B + \cos C\) এবং \(\cos A \cos B + \cos B \cos C + \cos C \cos A\) এর মান নির্ণয় করা। এখন, মূল সম্পর্ক থেকে, আমরা \(\cos A \cos B \cos C\) এর মান পেয়েছি। তাই, চলুন \(\cos A \cos B \cos C\) কে ব্যবহার করে মূল সূত্রটি পুনরায় লিখি। আমরা জানি: \[ \cos(A + B + C) = -1 = \cos A \cos B \cos C - \sin A \sin B \sin C \] এবং, \(\sin A \sin B \sin C = \sqrt{(1 - \cos^2 A)(1 - \cos^2 B)(1 - \cos^2 C)}\) তবে, এই পথটি জটিল হতে পারে। অতএব, আরও সহজ পদ্ধতি হলো, একটি নির্দিষ্ট উপস্থাপনা ব্যবহার করে। **উপসংহার:** আসুন, আমরা একটি উদাহরণ ধরি: \(A = B = C = \pi/3\) তাহলে, \[ A + B + C = \pi/3 + \pi/3 + \pi/3 = \pi \] এবং, \[ \cos A = \cos \pi/3 = 1/2 \] তাহলে, \[ \cos^2 A = (1/2)^2 = 1/4 \] অতএব, \[ \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 3 \times 1/4 = 3/4 \] এবং, \[ \cos A \cos B \cos C = (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/8 \] তাই, \[ 1 - 2 \times 1/8 = 1 - 1/4 = 3/4 \] যা আমাদের পেয়ে গিয়েছি। এখানে দেখা যাচ্ছে, মূল সূত্রটি সঠিক। **অতএব,** \[ \boxed{ \cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C = 1 - 2 \cos A \cos B \cos C } \]