ⁿC_r+ⁿC_r+1 এর সমান কোনটি?

আমরা জানি, প্যাস্কলের ত্রিভুজ (Pascal's triangle) থেকে:

\(\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \binom{n+1}{r+1}\) 😃

কিন্তু প্রদত্ত উত্তরটি \(\binom{n+1}{r}\) । 🤔

আমরা দ্বিপদ সহগের সূত্র ব্যবহার করে প্রমাণ করার চেষ্টা করি:

\(\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}\) এবং \(\binom{n}{r+1} = \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}\)

সুতরাং,

\(\binom{n}{r} + \binom{n}{r+1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} + \frac{n!}{(r+1)!(n-r-1)!}\)

\(= \frac{n! (r+1) + n! (n-r)}{(r+1)!(n-r)!}\)

\(= \frac{n! (r+1 + n - r)}{(r+1)!(n-r)!}\)

\(= \frac{n! (n+1)}{(r+1)!(n-r)!}\)

\(= \frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}\)

\(= \frac{(n+1)!}{(r+1)!((n+1)-(r+1))!}\)

\(= \binom{n+1}{r+1}\) 🎉

অতএব, ⁿC_r+ⁿC_r+1 = ⁿ⁺¹C_r+1 😊। প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়।