ⁿp₃×5 = ⁿp₄ হলে, n এর মান কত?

প্রশ্নঃ \(\prescript{n}{p_3} \times 5 = \prescript{n}{p_4}\) হলে, n এর মান কত?

সমাধান:

প্রথমে, পার্মুটেশন সূত্র অনুযায়ী:
\[
\prescript{n}{p_k} = \frac{n!}{(n - k)!}
\]

তাহলে, 
\[
\prescript{n}{p_3} = \frac{n!}{(n - 3)!}
\]
এবং,
\[
\prescript{n}{p_4} = \frac{n!}{(n - 4)!}
\]

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
\[
\prescript{n}{p_3} \times 5 = \prescript{n}{p_4}
\]

অর্থাৎ,
\[
\frac{n!}{(n - 3)!} \times 5 = \frac{n!}{(n - 4)!}
\]

দুটি পাশে \(n!\) থাকায়, সহজ করে নেওয়া যায়:
\[
5 \times \frac{n!}{(n - 3)!} = \frac{n!}{(n - 4)!}
\]

অতএব,
\[
5 \times \frac{n!}{(n - 3)!} = \frac{n!}{(n - 4)!}
\]

উভয় পাশে \(n!\) ভাগ করলে:
\[
5 \times \frac{1}{(n - 3)!} = \frac{1}{(n - 4)!}
\]

এখন, জ্ঞাত হই যে,
\[
(n - 4)! = (n - 4) \times (n - 5)! 
\]
অথবা,
\[
\frac{1}{(n - 4)!} = \frac{1}{(n - 4) \times (n - 5)!}
\]

অতএব, সমীকরণটি হয়:
\[
5 \times \frac{1}{(n - 3)!} = \frac{1}{(n - 4)!}
\]

এবং,
\[
(n - 3)! = (n - 3) \times (n - 4)!
\]

সুতরাং,
\[
5 \times \frac{1}{(n - 3) \times (n - 4)!} = \frac{1}{(n - 4)!}
\]

উভয় পাশে \(\frac{1}{(n - 4)!}\) আছে, তাই:
\[
5 \times \frac{1}{(n - 3)} = 1
\]

অর্থাৎ,
\[
\frac{5}{n - 3} = 1
\]

এখানে,
\[
n - 3 = 5
\]

অতএব,
\[
n = 8
\]

উত্তর: \(\boxed{8}\)