2x + ky - 1 = 0 রেখাটি x² + y² - 4x - 2y + 4 = 0 বৃত্তকে স্পর্শ করলে k এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): ```html

বৃত্তকে স্পর্শ করলে k এর মান নির্ণয়

দেয়া আছে, একটি সরলরেখার সমীকরণ \(2x + ky - 1 = 0\) এবং একটি বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 4 = 0\)। সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করলে \(k\) এর মান নির্ণয় করতে হবে। বৃত্তের সমীকরণটিকে \((x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2\) আকারে প্রকাশ করে কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ বের করা যায়। \(x^2 - 4x + y^2 - 2y + 4 = 0\) \((x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 2y + 1) = 1\) \((x - 2)^2 + (y - 1)^2 = 1^2\) সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \((2, 1)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r = 1\). 🤩 যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, কেন্দ্র থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হবে। কেন্দ্র \((2, 1)\) থেকে \(2x + ky - 1 = 0\) সরলরেখার লম্ব দূরত্ব: \[d = \frac{|2(2) + k(1) - 1|}{\sqrt{2^2 + k^2}} = \frac{|4 + k - 1|}{\sqrt{4 + k^2}} = \frac{|k + 3|}{\sqrt{4 + k^2}}\] যেহেতু সরলরেখাটি বৃত্তকে স্পর্শ করে, \(d = r = 1\). \[\frac{|k + 3|}{\sqrt{4 + k^2}} = 1\] উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \[(k + 3)^2 = 4 + k^2\] \[k^2 + 6k + 9 = 4 + k^2\] \[6k = -5\] \[k = -\frac{5}{6}\] অতএব, \(k\) এর মান \(-\frac{5}{6}\). 🎉 ```