x2+y2+2gx+2fy+c=0 বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করলে নিচের কোনটি সত্য হবে?
দেওয়া বৃত্তের সমীকরণ:
\[ x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \]
প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে।
যদি বৃত্তটি x অক্ষকে স্পর্শ করে, তবে এর অর্থ হল, বৃত্তটির কেন্দ্র ও its স্পর্শ বিন্দু x অক্ষের উপর থাকবে।
বৃত্তের কেন্দ্রের অবস্থান:
\[ \text{Centre} = (-g, -f) \]
বৃত্তের রেডিয়াস \( r \) হচ্ছে:
\[ r^2 = g^2 + f^2 - c \]
যেহেতু বৃত্তটি x অক্ষের স্পর্শ, তাই স্পর্শ বিন্দু হবে (x₀, 0)।
বৃত্তের সমীকরণে x অক্ষের উপর স্পর্শ বিন্দুর জন্য, এটির সাথে বৃত্তের দূরত্ব হবে তার রেডিয়াসের সমান।
এখন, কেন্দ্রের থেকে x অক্ষের দূরত্ব হল:
\[ \text{Distance} = | -f | = |f| \]
কারণ, এটি স্পর্শ বিন্দু, তাই:
\[ \text{Distance} = r \]
অর্থাৎ:
\[ |f| = r \]
অর্থাৎ:
\[ r = |f| \]
এখন, রেডিয়াসের মান অনুযায়ী:
\[ r^2 = g^2 + f^2 - c \]
এবং, কারণ \( r = |f| \), তাই:
\[ r^2 = f^2 \]
অতএব:
\[ f^2 = g^2 + f^2 - c \]
দুটি সমান হয়ে গেলে, নিচের রূপ নেবে:
\[ 0 = g^2 - c \]
অর্থাৎ:
\[ g^2 = c \]