\( \tan (\cos^{-1} x) = \sin (\tan^{-1} 2) \) হলে \( x \) এর মান কত?

প্রশ্ন অনুযায়ী, আমাদের দেওয়া সমীকরণ হল:

\[ \tan (\cos^{-1} x) = \sin (\tan^{-1} 2) \]

ধাপ ১: বাম পাশের সমাধান

ধরি, \(\theta = \cos^{-1} x\)। তাহলে, \[ \cos \theta = x \] এবং, \(\theta\) এর মান \\(0 \leq \theta \leq \pi\)।

আমরা জানি, \(\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}\)। অতএব, \[ \tan (\cos^{-1} x) = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \] অথবা, \[ \text{যেহেতু } \cos \theta = x,\ তাহলে } \sin \theta = \sqrt{1 - x^2} \text{ (চিহ্ন অনুসারে)}. \] এখানে, \(\theta\) এর মান \\(0 \leq \theta \leq \pi\), তাই \(\sin \theta \geq 0\), ফলে \[ \sin \theta = \sqrt{1 - x^2} \] অতএব, \[ \tan (\cos^{-1} x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \]

ধাপ ২: ডান পাশের সমাধান

ধরি, \(\phi = \tan^{-1} 2\)। তাহলে, \[ \tan \phi = 2 \] এবং, \(\phi\) এর মান \(0 \leq \phi < \frac{\pi}{2}\), কারণ \(\tan^{-1} 2\) এর মান প্রথম কোয়ার্টারে।

আমরা জানি, \[ \sin \phi = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}} = \frac{2}{\sqrt{1 + 2^2}} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] অতএব, \[ \sin (\tan^{-1} 2) = \frac{2}{\sqrt{5}} \]

ধাপ ৩: সমীকরণ সমাধান

এখন, মূল সমীকরণ অনুযায়ী, \[ \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} = \frac{2}{\sqrt{5}} \] এটি থেকে, \[ \sqrt{1 - x^2} = \frac{2x}{\sqrt{5}} \] দুটি পাশের স্কোয়ার করি, \[ 1 - x^2 = \frac{4x^2}{5} \] এখন, \[ 5(1 - x^2) = 4x^2 \] \[ 5 - 5x^2 = 4x^2 \] \[ 5 = 9x^2 \] অতএব, \[ x^2 = \frac{5}{9} \] এবং, \[ x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \]

ধাপ ৪: সঠিক মান নির্ণয়

যেহেতু \(\theta = \cos^{-1} x\), এবং \(\cos^{-1} x\) এর রেঞ্জ হলো \(0 \leq \theta \leq \pi\), তাই \(\cos^{-1} x\) এর মানে \(\cos \theta\) এর মান \(-1 \leq x \leq 1\)। এ ছাড়া, \(\tan (\cos^{-1} x)\) ধনাত্মক মানের জন্য, \(\cos^{-1} x\) এর মান প্রথম কোয়ার্টারে বা ইনটিউটিভভাবে, \(x\) অবশ্যই ধনাত্মক বা ধনাত্মক হতে হবে।

তাই, \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) ধনাত্মক, এবং সেটিই সমাধান।

অতএব, সম্ভাব্য মান হলো:

\[ x = \frac{\sqrt{5}}{3} \]

উত্তর:

\[ \boxed{\frac{\sqrt{5}}{3}} \]