\( x^2 + y^2 - 6x - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \) বৃত্তটির কেন্দ্রের স্থানাংক কত?
প্রশ্নের সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \( x^2 + y^2 - 6x - 2\sqrt{3}y + 3 = 0 \)
আমরা এই সমীকরণ থেকে বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করব।
ধাপ 1: সমীকরণটি সাধারণ বৃত্তের সমীকরণে রূপান্তর করুন:
প্রথমে, সমীকরণটি গ্রুপ করি:
\[ x^2 - 6x + y^2 - 2\sqrt{3} y + 3 = 0 \]
ধাপ 2: সম্পূর্ণ বর্গের জন্য যোগ ও বিয়োগ করুন:
প্রতিটি ভেরিয়েবলের জন্য আলাদা করে সম্পূর্ণ বর্গ তৈরি করি।
প্রথমের জন্য:
\[ x^2 - 6x \]
সম্পূর্ণ বর্গের জন্য, \(\left( x - \frac{6}{2} \right)^2 = (x - 3)^2 \)
অতিরিক্ত যোগ ও বিয়োগ করতে হবে, তাই:\[ x^2 - 6x = (x - 3)^2 - 9 \]
\[ y^2 - 2\sqrt{3} y \]
সম্পূর্ণ বর্গের জন্য, \(\left( y - \frac{2\sqrt{3}}{2} \right)^2 = ( y - \sqrt{3} )^2 \)
অতিরিক্ত যোগ ও বিয়োগ করতে হবে, তাই:\[ y^2 - 2\sqrt{3} y = ( y - \sqrt{3} )^2 - 3 \]
ধাপ 3: সমীকরণে প্রতিস্থাপন করুন:
সুতরাং, সমীকরণটি হবে:
\[ (x - 3)^2 - 9 + ( y - \sqrt{3} )^2 - 3 + 3 = 0 \]
সরলীকরণ করলে:
\[ (x - 3)^2 + ( y - \sqrt{3} )^2 - 9 - 3 + 3 = 0 \]
\[ (x - 3)^2 + ( y - \sqrt{3} )^2 - 9 = 0 \]
অর্থাৎ:
\[ (x - 3)^2 + ( y - \sqrt{3} )^2 = 9 \]
উপসংহার:
এখানে, বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হলো \(\boxed{(3, \sqrt{3})}\)