1- 1/18 - 1/18 × 1/36 - 1/18× 1/36 × 1/54 - ... .... = ?

Explanation: Hints: \((1+x)^n\) এর বিন্যাসের সাথে উক্ত ধারার ক্রমিক পদদের তুলনা করে উক্ত ধারার \(x\) এবং \(n\) এর মান বের করতে হবে। Solve: ধরি, \((1+x)^n = 1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{18} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{18} \cdot \frac{3}{54} - \dotsb (i)\) আবার, \((1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dotsb (ii)\) (i) এবং (ii) এর ডান পক্ষ তুলনা করে, \(nx = -\frac{1}{18} \Rightarrow x = -\frac{1}{18n}\) Ans. (B)

Another Explanation (5): bài toán: 1- 1/18 - 1/18 × 1/36 - 1/18× 1/36 × 1/54 - ... .... = ? giải: ধারাটির প্রথম পদ \( a = \frac{1}{18} \) সাধারণ অনুপাত নির্ণয়: দ্বিতীয় পদ ÷ প্রথম পদ = \( \frac{1}{18} \times \frac{1}{36} \div \frac{1}{18} = \frac{1}{36} \) তৃতীয় পদ ÷ দ্বিতীয় পদ = \( \frac{1}{18} \times \frac{1}{36} \times \frac{1}{54} \div (\frac{1}{18} \times \frac{1}{36}) = \frac{1}{54} \) সুতরাং, গুণোত্তর প্রগতিটির সাধারণ অনুপাত \( r = \frac{1}{36}, \frac{1}{54}, ... \) যা ধ্রুবক নয়। 🤔এখানে ধারাটির গঠন একটু ভিন্ন। এটিকে গুণোত্তর প্রগতিতে আনার চেষ্টা করি। প্রদত্ত ধারা: 1- 1/18 - 1/18 × 1/36 - 1/18× 1/36 × 1/54 - ... = \( 1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{18 \cdot 36} - \frac{1}{18 \cdot 36 \cdot 54} - ... \) = \( 1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{18 \cdot (18 \cdot 2)} - \frac{1}{18 \cdot (18 \cdot 2) \cdot (18 \cdot 3)} - ... \) = \( 1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{18^2 \cdot 2} - \frac{1}{18^3 \cdot 2 \cdot 3} - ... \) = \( 1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{18^2 \cdot 2} - \frac{1}{18^3 \cdot 6} - ... \) এই ধারাটিকে সহজে সরল করা যাচ্ছে না। 😥 বিকল্প পদ্ধতি: যদি ধারাটি এমন হয়: \( 1 - \frac{1}{18} - (\frac{1}{18})^2 - (\frac{1}{18})^3 - ... \) তবে এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা। এখানে, প্রথম পদ a = \( \frac{1}{18} \) এবং সাধারণ অনুপাত r = \( \frac{1}{18} \) অসীম গুণোত্তর ধারার যোগফল = \( \frac{a}{1-r} \) সুতরাং, \( \frac{\frac{1}{18}}{1 - \frac{1}{18}} = \frac{\frac{1}{18}}{\frac{17}{18}} = \frac{1}{17} \) অতএব, ধারাটির মান = \( 1 - \frac{1}{17} = \frac{16}{17} \) কিন্তু উত্তর \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \) দেওয়া আছে। 🤔 প্রদত্ত ধারাটিকে অন্যভাবে লেখার চেষ্টা করি: \( 1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{18 \times 36} - \frac{1}{18 \times 36 \times 54} - ... \) \( = 1 - \frac{1}{18} - \frac{1}{648} - \frac{1}{34992} - ... \) এই ধারাটির pattern বোঝা যাচ্ছে না। 😔 যদি উত্তর \( \frac{2\sqrt{2}}{3} \) হয়, তবে এই ধারাটিকে অন্যভাবে convert করতে হবে অথবা প্রশ্নটিতে কোনো ভুল আছে। 🙏 চূড়ান্ত উত্তর: দুঃখিত, প্রদত্ত ধারাটির সঠিক মান নির্ণয় করা এই মুহূর্তে সম্ভব হচ্ছে না। 🙏