যদি R বাস্তব সংখ্যার সেট হয় এবং f : R → R কে f(x) = 2x + sinx দ্বারা সংজ্ঞায়িত হলে কোনটি সত্য?

প্রশ্নের উত্তর ও সমাধান:

প্রশ্নে বলা হয়েছে, \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) সংজ্ঞায়িত যেখানে \(f(x) = 2x + \sin x\)। আমাদের দেখাতে হবে যে, \(f\) এক-এক (injective) এবং সর্বগ্রাহী (surjective)।

1. \(f\) এর ডেরিভেটিভ ঠাহর করা:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} (2x + \sin x) = 2 + \cos x \]

2. \(f\) এর ইনজেক্টিভিটি পরীক্ষা:

যেহেতু \(f'(x) = 2 + \cos x\), এবং \(\cos x\) এর মান সর্বদা \(-1\) থেকে \(1\) এর মধ্যে, তাই: \[ f'(x) \geq 2 - 1 = 1 \] অর্থাৎ, \(f'(x) > 0\) সবার জন্য।

যেহেতু ডেরিভেটিভ সবসময় ধনাত্মক, তাই \(f\) ইনজেক্টিভ।

3. \(f\) এর সার্বজনীনতা পরীক্ষা:

অধিকন্তু, \(f\) এর ডেরিভেটিভ সবসময় ধনাত্মক, তাই \(f\) মনোটোনিক বৃদ্ধি পায়।

সুতরাং, \(f\) এর ইমেজ সব real numbers এর উপর বিস্তৃত।

4. \(f\) এর সর্বগ্রাহীতা:

প্রতিট??? \(y \in \mathbb{R}\) জন্য, \(f(x) = y\) সমীকরণ সমাধান করতে পারি: \[ 2x + \sin x = y \] যদিও এই সমীকরণের জন্য সাধারণ সমাধান কঠিন, তবে আমরা জানি, \(f\) এর ডেরিভেটিভ সবসময় ধনাত্মক এবং অজানা মূলের জন্য \(f(x)\) এর মান সবসময় বাস্তব সংখ্যার মধ্যে থাকে। অতএব, \(f\) এর ইমেজ \(\mathbb{R}\)।

অতএব, \(f\) সব বাস্তব সংখ্যাকে আচ্ছাদিত করে এবং ইনজেক্টিভ।

উপসংহার:

অতএব, \(f\) এক-এক (injective) এবং সর্বগ্রাহী (surjective)।

অর্থাৎ, উত্তরটি সঠিক।