(1+x)n = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + .... + (-1)^r(r+1)x^r + .... হলে n=?

Explanation: Hints: \((1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dotsb\) Solve: \((1+x)^n = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!}x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^3 + \dotsb\) (i) এবং দেওয়া আছে: \((1+x)^n = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dotsb + (-1)^r \binom{n}{r}x^r + \dotsb\) (ii) (i) এবং (ii) নং সমীকরণ তুলনা করে, \(n = -2\) Ans. (B)

Another Explanation (5): সমাধান: দেওয়া আছে, \( (1+x)^n = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots + (-1)^r (r+1) x^r + \dots \) 🧐 আমরা জানি, \( (1+x)^n = \sum_{r=0}^{\infty} \binom{n}{r} x^r = 1 + nx + \frac{n(n-1)}{2!} x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} x^3 + \dots \) এখন, উভয় ধারাকে তুলনা করে পাই 🤔: x এর সহগ: \( n = -2 \) 🥳 \( x^2 \) এর সহগ: \( \frac{n(n-1)}{2} = 3 \) প্রথম সমীকরণ থেকে \( n = -2 \) পাওয়া যায়। 👍 দ্বিতীয় সমীকরণে \( n = -2 \) বসালে পাই: \( \frac{-2(-2-1)}{2} = \frac{-2(-3)}{2} = 3 \) 🤩 সুতরাং, \( n = -2 \) সঠিক। ✅ অতএব, \( n = -2 \)। 🎉