Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রশ্ন: \(\sin \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} x) = ?\)
ধাপ 1: প্রথমে, আসুন \(A = \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} x)\) ধরি।
অর্থাৎ,
\[
A = \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} x)
\]
ধাপ 2: তাহলে,
\[
\cot A = \tan (\cos^{-1} x)
\]
ধাপ 3: আমরা জানি, \(\tan (\cos^{-1} x)\) এর মান নির্ণয় করতে পারি।
যদি \(\theta = \cos^{-1} x\), তবে,
\[
\cos \theta = x
\]
এবং, \(\theta\) এর জন্য,
\[
0 \leq \theta \leq \pi
\]
ধরা যাক, \(\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}\)।
অতএব,
\[
\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\]
অর্থাৎ,
\[
\tan (\cos^{-1} x) = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\]
ধাপ 4: এখন,
\[
\cot A = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\]
অর্থাৎ,
\[
A = \cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \right)
\]
ধাপ 5: এখন, আমাদের মূল প্রশ্নের মান নির্ণয় করতে হবে: \(\sin A\)
আমরা জানি,
\[
A = \cot^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x} \right)
\]
তাহলে,
\[
\cot A = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{x}
\]
একটি ত্রিভুজ তৈরি করে যেখানে,
\[
\cot A = \frac{\text{অধিকাংশ}}{\text{অপ্রাধান্য}} = \frac{\text{অধিকাংশ}}{\text{অপ্রাধান্য}}
\]
তাই,
\[
\text{অধিকাংশ} = \sqrt{1 - x^2}
\]
\[
\text{অপ্রাধান্য} = x
\]
এখন,
\[
\sin A = \frac{\text{অপরাধ্য}}{\text{হাইপোটেনিউস}} \quad \text{অথবা} \quad \sin A = \frac{\text{অধিকাংশ}}{\text{হাইপোটেনিউস}}
\]
এবং,
\[
\text{হাইপোটেনিউস} = \sqrt{(\sqrt{1 - x^2})^2 + x^2} = \sqrt{1 - x^2 + x^2} = \sqrt{1} = 1
\]
অতএব,
\[
\sin A = \frac{\text{অধিকাংশ}}{\text{হাইপোটেনিউস}} = \frac{\sqrt{1 - x^2}}{1} = \sqrt{1 - x^2}
\]
প্রতিপাদ্য:
\[
\sin (\cot^{-1} (\tan \cos^{-1} x)) = \sqrt{1 - x^2}
\]
উত্তর: \(\boxed{x}\)
(এখানে, যেহেতু \(\sin A = \sqrt{1 - x^2}\), তবে মূল প্রশ্নে \(\sin \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} x)\) এর মান \(x\) এর সমান।)
সুতরাং,
\[
\boxed{\sin \cot^{-1} (\tan \cos^{-1} x) = x}
\]
