\( a \) এর মান কত হলে \( f(x) = \begin{cases} x^2/x, & x \neq 0 \\ a, & x = 0 \end{cases} \) ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হবে?

Explanation: Hints: ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হবে যদি \(\lim_{x\to 0^+}f(x) = \lim_{x\to 0^-}f(x) = f(0)\) হয়। Solve: \[ R.H.L.: \lim_{x\to 0^+}f(x) = \frac{x^2}{x} = 0 \\ L.H.L.: \lim_{x\to 0^-}f(x) = 0 \quad \text{এবং } f(0) = a : a = 0 \] Ans. (B) ব্যাখ্যা: কোনো একটি ফাংশন তখনই অবিচ্ছিন্ন হবে যখন ফাংশনটির Left Hand Limit অর্থাৎ \(\lim_{x\to 0^-}f(x)\) ও Right-hand Limit অর্থাৎ \(\lim_{x\to 0^+}f(x)\) এবং Functional Value অর্থাৎ \(f(x)\) প্রত্যেকেই সমান হবে। এখানে \(R.H.L.\) এর ক্ষেত্রে \(x\to 0^+\) বলতে \(x\) এর মান \(0\) এর চেয়ে সামান্য একটু বড় (যেমন \(0.001\)) ধরার ফলে \(f(x) = \frac{x^2}{x}\) এর মান \(0.001\) অর্থাৎ \(0\) এর খুব কাছাকাছি পাওয়া গেছে যা \(0\) এর সমতুল্য। আবার, \(L.H.L.\) এর ক্ষেত্রে \(x\to 0^-\) বলতে \(x\) এর মান \(0\) এর চেয়ে সামান্য একটু ছোট (যেমন \(-0.001\)) ধরার ফলে \(f(x)\) এর মান \(-0.001\) পাওয়া গেছে যা-\ও \(0\) এর সমতুল্য। অর্থাৎ, দেখা যাচ্ছে, \(L.H.L.\) ও \(R.H.L.\) উভয়ই \(0\) এর সমান। তাহলে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হতে হলে functional value অর্থাৎ \(x = 0\) বিন্দুতেও \(f(x)\) এর value \(0\) হতে হবে। আর প্রশ্নে আগেই বলা ফাংশনের value \(a,\) অর্থাৎ \(a = 0\) হবে।

Another Explanation (5): ```html

ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হওয়ার শর্ত হল, \( x = 0 \) বিন্দুতে ফাংশনের মান এবং \( x = 0 \) বিন্দুর কাছাকাছি ফাংশনের লিমিটের মান সমান হতে হবে।

প্রথমে, \( x \neq 0 \) এর জন্য ফাংশনটি হল:

\( f(x) = \frac{x^2}{x} = x \)

\( x = 0 \) বিন্দুতে ফাংশনের লিমিট:

\( \lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x = 0 \)

ফাংশনটি \( x = 0 \) বিন্দুতে অবিচ্ছিন্ন হওয়ার জন্য, \( f(0) \) এর মান লিমিটের মানের সমান হতে হবে। অর্থাৎ,

\( f(0) = a = 0 \)

অতএব, \( a \) এর মান \( 0 \) হলে ফাংশনটি অবিচ্ছিন্ন হবে। 🎉

সুতরাং, উত্তর: \( 0 \)

```