tan^-1x ফাংশনটির রেঞ্জ নিচের কোনটি?

tan^-1x ফাংশনটির রেঞ্জ \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) হওয়ার কারণ:

1. সংজ্ঞা: tan^-1x ফাংশনটি হল tan(x) ফাংশনের বিপরীত ফাংশন।
2. ডোমেইন সীমাবদ্ধতা: tan(x) ফাংশনটি পিরিওডিক (periodic) হওয়ায় এর বিপরীত ফাংশন তৈরি করার জন্য এর ডোমেইনকে সীমাবদ্ধ করা হয়। সাধারণত, tan(x) এর ডোমেইন \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) -এর মধ্যে সীমাবদ্ধ রাখা হয়।
3. রেঞ্জ: যখন tan(x) এর ডোমেইন \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) হয়, তখন এর রেঞ্জ হয় \( (-\infty, \infty) \)। সুতরাং, tan^-1x এর ডোমেইন হবে \( (-\infty, \infty) \) এবং রেঞ্জ হবে tan(x) এর সীমাবদ্ধ ডোমেইন, যা হল \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)।
4. ব্যাখ্যা:
   • tan^-1x ফাংশনটি \( -\frac{\pi}{2} \) এবং \( \frac{\pi}{2} \) এর মধ্যে সকল মান গ্রহণ করে, কিন্তু এই মানগুলো অন্তর্ভুক্ত করে না (exclusive)। কারণ tan(x) ফাংশন \( x = \pm \frac{\pi}{2} \) এ অসীম (undefined)।
   • গাণিতিকভাবে, \( \lim_{x \to -\frac{\pi}{2}^+} \tan(x) = -\infty \) এবং \( \lim_{x \to \frac{\pi}{2}^-} \tan(x) = \infty \)
   • সুতরাং, tan^-1x এর রেঞ্জ \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \)।

সংক্ষেপে, tan^-1x ফাংশনটির রেঞ্জ \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) কারণ এটি tan(x) ফাংশনের বিপরীত ফাংশন এবং tan(x) এর ডোমেইনকে \( (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \) -এর মধ্যে সীমাবদ্ধ করা হয়। 🥳