f(x) = ln (1+2x) ফাংশনটির রেঞ্জ কত?

Another Explanation (5):

প্রশ্নঃ

ফাংশন: \(f(x) = \ln(1 + 2x)\)

উত্তরঃ

ফাংশনের রেঞ্জ নির্ণয় করতে প্রথমে দেখব যে, এই ফাংশনের ডোমেইন কি।

ডোমেইন নির্ণয়:

\(f(x) = \ln(1 + 2x)\) হলে, \(\ln\) এর ইনপুট অবশ্যই ধনাত্মক হতে হবে। সুতরাং,

\[ 1 + 2x > 0 \] \[ 2x > -1 \] \[ x > -\frac{1}{2} \] অর্থাৎ, ডোমেইন হলো: \[ x \in \left( -\frac{1}{2}, \infty \right) \]

রেঞ্জ নির্ণয়:

অন্যদিকে, \(\ln y\) এর মান ধনাত্মক অপ্রতিহত রেঞ্জে চলে যায়, অর্থাৎ,

\[ f(x) = \ln(1 + 2x) \] যখন \(x \to -\frac{1}{2}^+\), তখন \(1 + 2x \to 0^+\), ফলে \[ f(x) \to -\infty \] অন্যদিকে, যখন \(x \to \infty\), তখন \(1 + 2x \to \infty\), ফলে \[ f(x) \to \infty \] অতএব, এই ফাংশনের রেঞ্জ হলো: \[ (-\infty, \infty) \]

উপসংহারঃ

সুতরাং, ফাংশনের রেঞ্জ হলো:

উত্তরঃ রেঞ্জ = \(\mathbb{R}\)