f(x)=-x²-2x+3 এবং -4≤ x≤ 0 হলে এর রেঞ্জ হবেঃ 

ফাংশনটির রেঞ্জ নির্ণয়

f(x) = -x² - 2x + 3 এবং -4 ≤ x ≤ 0 এর জন্য রেঞ্জ নির্ণয় করা হলো:

প্রথমে, আমরা ফাংশনটিকে পূর্ণ বর্গ আকারে লিখি:

\(f(x) = -(x^2 + 2x) + 3\)
\(f(x) = -(x^2 + 2x + 1 - 1) + 3\)
\(f(x) = -((x + 1)^2 - 1) + 3\)
\(f(x) = -(x + 1)^2 + 1 + 3\)
\(f(x) = -(x + 1)^2 + 4\)

যেহেতু \( (x + 1)^2 \) সবসময় অঋণাত্মক, তাই \( -(x + 1)^2 \) সবসময় ঋণাত্মক অথবা শূন্য হবে। সুতরাং, \( f(x) \) এর সর্বোচ্চ মান হবে যখন \( (x + 1)^2 = 0 \), অর্থাৎ \( x = -1 \) হলে।

সর্বোচ্চ মান: \( f(-1) = -(-1 + 1)^2 + 4 = 4 \) 🎉

এখন, আমরা প্রান্তীয় বিন্দুগুলোতে ফাংশনের মান নির্ণয় করি:

\( x = -4 \) হলে, \( f(-4) = -(-4 + 1)^2 + 4 = -(-3)^2 + 4 = -9 + 4 = -5 \) 😮
\( x = 0 \) হলে, \( f(0) = -(0 + 1)^2 + 4 = -1 + 4 = 3 \) 🙂

যেহেতু \( x = -1 \) এই ব্যবধির মধ্যে অবস্থিত, তাই \( f(x) \) এর সর্বোচ্চ মান 4 হবে। কিন্তু \( x = 0 \) তে ফাংশনের মান 3, তাই সর্বোচ্চ মান 4 গ্রহণযোগ্য নয়, কারণ আমাদের \( x \) এর সীমা -4 থেকে 0 এর মধ্যে সীমাবদ্ধ।

সুতরাং, এই ব্যবধিতে সর্বনিম্ন মান \( -5 \) এবং সর্বোচ্চ মান \( 3 \) (কিন্তু \(3\) অন্তর্ভুক্ত নয়)।

অতএব, রেঞ্জ হলো: \( -5 \leq f(x) < 3 \) 👍