\( f(x)=4-(x-3)^2 \) ফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ যথাক্রমে-

প্রশ্নঃ

প্রদত্ত ফাংশন: \( f(x) = 4 - (x - 3)^2 \) এর ডোমেন ও রেঞ্জ নির্ণয় করো।

উত্তরঃ

প্রথমে, ডোমেন নির্ণয় করি।

চেহারা দেখে বোঝা যায়, এটি একটি কৌষিক (quadratic) ফাংশন যেখানে \( (x - 3)^2 \) সবসময় ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে।

অর্থাৎ, \( x \in \mathbb{R} \) এর জন্য এটি বৈধ। তাই, ডোমেন হলো:

\( \boxed{\text{ডোমেন}: \mathbb{R}} \)

রেঞ্জ নির্ণয়:

ফাংশন: \( f(x) = 4 - (x - 3)^2 \)

এখানে, \( (x - 3)^2 \geq 0 \) সব \( x \) এর জন্য।

সুতরাং, সর্বোচ্চ মান তখনই হবে যখন \( (x - 3)^2 = 0 \), অর্থাৎ \( x = 3 \)।

সেখানে, \( f(3) = 4 - (3 - 3)^2 = 4 - 0 = 4 \)।

অন্যদিকে, \( (x - 3)^2 \) যত বড় হবে, \( f(x) \) ততই ছোট হবে এবং এটি ধনাত্মক বা শূন্যের সমান হবে।

অতএব, \( f(x) \) এর সর্বনিম্ন মানটি অসীমের দিকে ধাবিত হয়, অর্থাৎ, এটি অসীমের নিচে যায়।

সুতরাং, রেঞ্জ হলো:

\( \boxed{\text{রেঞ্জ}: \{ y \in \mathbb{R} \mid y \leq 4 \} } \)