\( \sqrt{3x+1(3+x)(5-x)} + 5 \leq 3 \) এর সমাধান সেট কোনটি?

A. R-{-3,5}

B. (-3,5)

C. {-1/3,1/5}

D. φ

E. (-1/3, -3) ∪ (0,5)

SUSTUnit-Bউচ্চতর গণিত প্রথম পত্রফাংশন ও ফাংশনের লেখচিত্রফাংশনের ডোমেন ও রেঞ্জ (Topic Practice)SUST - ⚡ অনলাইন প্রশ্নব্যাংক দেখুন 💥

সঠিক উত্তরঃ D. φ

Explanation: Hints: Option এর মানগুলো উক্ত অসাম্যতাতে বসিয়ে দেখতে হবে কোন মানের জন্য অসাম্যতাটি সত্য হয়। Solve: Option (A) তে \(x=4\) হলে \(L.H.S \geq R.H.S\) যা সঠিক নয়। Option (B) \((-3, 5)\) এর ক্ষেত্রেও সঠিক নয়। একইভাবে (C) ও (E) option-ও উক্ত condition fill up করতে পারে না। Ans. (D) ব্যাখ্যা: option (A) তে \(x=4\) ধরা কারণ \(4 \in \mathbb{R}\) এবং (A) তে বলা হয়েছে \(-3\) ও \(5\) বাদে যেকোন বাস্তব মানের জন্য উক্ত অসাম্যতা সত্য। (B) তে \(-3

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \( \sqrt{3+x} + \sqrt{5-x} \leq 3 \) এর সমাধান সেট কোনটি?

সমাধান:

এখানে, \( \sqrt{3+x} \) এবং \( \sqrt{5-x} \) উভয়ই সংজ্ঞায়িত হতে হবে। এর জন্য, \( 3+x \geq 0 \) এবং \( 5-x \geq 0 \) হতে হবে। অর্থাৎ, \( x \geq -3 \) এবং \( x \leq 5 \) হতে হবে। সুতরাং, \( -3 \leq x \leq 5 \)।

এখন, \( \sqrt{3+x} + \sqrt{5-x} \leq 3 \) উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \( (3+x) + 2\sqrt{(3+x)(5-x)} + (5-x) \leq 9 \) \( 8 + 2\sqrt{15 - 3x + 5x - x^2} \leq 9 \) \( 2\sqrt{15 + 2x - x^2} \leq 1 \) \( \sqrt{15 + 2x - x^2} \leq \frac{1}{2} \) আবার উভয় দিকে বর্গ করে পাই, \( 15 + 2x - x^2 \leq \frac{1}{4} \) \( 60 + 8x - 4x^2 \leq 1 \) \( 4x^2 - 8x - 59 \geq 0 \)

এখন, \( 4x^2 - 8x - 59 = 0 \) সমীকরণের মূলগুলো হল: \( x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-59)}}{2 \cdot 4} \) \( x = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 944}}{8} \) \( x = \frac{8 \pm \sqrt{1008}}{8} \) \( x = \frac{8 \pm 12\sqrt{7}}{8} \) \( x = \frac{2 \pm 3\sqrt{7}}{2} \) সুতরাং, \( x_1 = \frac{2 - 3\sqrt{7}}{2} \approx -2.96 \) এবং \( x_2 = \frac{2 + 3\sqrt{7}}{2} \approx 4.96 \)

যেহেতু \( 4x^2 - 8x - 59 \geq 0 \), তাই \( x \leq \frac{2 - 3\sqrt{7}}{2} \) অথবা \( x \geq \frac{2 + 3\sqrt{7}}{2} \) অর্থাৎ, \( x \leq -2.96 \) অথবা \( x \geq 4.96 \)

কিন্তু আমাদের প্রথমে ছিল \( -3 \leq x \leq 5 \)। সুতরাং, এই শর্তের সাথে মিলিয়ে পাই, \( -3 \leq x \leq \frac{2 - 3\sqrt{7}}{2} \) অথবা \( \frac{2 + 3\sqrt{7}}{2} \leq x \leq 5 \) অর্থাৎ, \( -3 \leq x \leq -2.96 \) অথবা \( 4.96 \leq x \leq 5 \)

এখন, \( x = -3 \) বসালে, \( \sqrt{3-3} + \sqrt{5-(-3)} = \sqrt{8} \approx 2.83 \leq 3 \) (সত্য) এবং \( x = 5 \) বসালে, \( \sqrt{3+5} + \sqrt{5-5} = \sqrt{8} \approx 2.83 \leq 3 \) (সত্য) সুতরাং, সমাধান হল \( [-3, \frac{2 - 3\sqrt{7}}{2}] \cup [\frac{2 + 3\sqrt{7}}{2}, 5] \)

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \( \sqrt{3x+1} + \sqrt{(3+x)(5-x)} + 5 \leq 3 \) তাহলে, \( \sqrt{3x+1} + \sqrt{(3+x)(5-x)} \leq -2 \) যেহেতু বর্গমূল কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই অসমতার কোনো সমাধান নেই। 🤷‍♀️ সুতরাং, সমাধান সেট \( \phi \) (ফাঁকা)। 🥳

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \( \sqrt{3+x} + \sqrt{5-x} + 5 \leq 3 \) তাহলে, \( \sqrt{3+x} + \sqrt{5-x} \leq -2 \) যেহেতু বর্গমূল কখনো ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই এই অসমতার কোনো সমাধান নেই। 🤷‍♀️ সুতরাং, সমাধান সেট \( \phi \) (ফাঁকা)। 🥳

সুতরাং, উত্তর: φ 🤩

```