Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে আমাদের দেওয়া ফাংশন হলো:
\[
f(x) = \frac{2x + 1}{x - 3}
\]
আমরা চাই \(f^{-1}(x)\) এর কোডোমেন নির্ণয় করতে। এর জন্য প্রথমে \(f(x)\)-এর ইনভার্স ফাংশন খুঁজে বের করি।
ধাপ ১: \(f(x)\) এর ইনভার্স খুঁজে বের করা
প্রতিস্থাপন করি:
\[
y = \frac{2x + 1}{x - 3}
\]
এখন \(x\) এর জন্য সমাধান করি:
\[
y(x - 3) = 2x + 1
\]
\[
yx - 3y = 2x + 1
\]
উভয় দিক থেকে \(x\) সমূহ আলাদা করি:
\[
yx - 2x = 3y + 1
\]
\[
x(y - 2) = 3y + 1
\]
অতঃপর,
\[
x = \frac{3y + 1}{y - 2}
\]
অর্থাৎ,
\[
f^{-1}(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}
\]
ধাপ ২: \(f^{-1}(x)\) এর ডোমেইন নির্ণয়
\(f^{-1}(x)\) এর ডোমেইন হলো সেই সকল \(x\) মান যাদের জন্য \(f^{-1}(x)\) সংজ্ঞায়িত। যা মূলত, যেখানে ডিনোমিনেটর শূন্য নয়। অর্থাৎ:
\[
x - 2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2
\]
তবে, আমাদের জানার জন্য গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, \(f^{-1}(x)\) এর ডোমেইন মূলত \(f(x)\) এর কোডোমেন। কারণ, ইনভার্সের ডোমেইন সেই মানগুলো যেগুলো \(f\)-এর আউটপুট হয়েছে।
অতএব, প্রথমে \(f(x)\)-এর কোডোমেন নির্ণয় করি।
ধাপ ৩: \(f(x)\)-এর কোডোমেন নির্ণয়
সাধারণত, রৈখিক ভগ্নাংশের জন্য, কোডোমেন হলো রিয়েল সংখ্যার সেট থেকে সেই মান বাদ দেওয়া হয়, যেগুলির জন্য ডিনোমিনেটর শূন্য হয়।
এখানে:
\[
x - 3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3
\]
অর্থাৎ, \(f(x)\) এর ডোমেইন হলো:
\[
\mathbb{R} - \{3\}
\]
এবং, যেহেতু \(f\) একটি রৈখিক ভগ্নাংশ, এর আউটপুট যেকোনো মান হতে পারে, যদি \(x \neq 3\)।
তাই, \(f^{-1}(x)\)-এর জন্য কোডোমেন হলো সেই মানগুলো, যেগুলো \(f\)-এর আউটপুট। অর্থাৎ, \(f(x)\)-এর কোডোমেন হলো:
\[
\mathbb{R} - \{3\}
\]
তাই, \(f^{-1}(x)\) এর কোডোমেন হলো:
\[
\boxed{\mathbb{R} - \{3\}}
\]
উত্তর:
\[
\mathbb{R} - \{3\}
\]
