একটি সরলরেখা অক্ষদ্বয়ের সাথে 50/√3 বর্গ একক ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট ত্রিভুজ সৃষ্টি করে এবং মুলবিন্দু হতে এর উপর অঙ্কিত লম্ব X অক্ষের সাথে 30^o কোণ উৎপন্ন করলে রেখাটির সমীকরণ কী হবে?

ধরি, সরলরেখার সমীকরণ \(x \cos \alpha + y \sin \alpha = p\), যেখানে \(p\) মূলবিন্দু থেকে সরলরেখার লম্ব দূরত্ব এবং \(\alpha\) হলো লম্বের \(x\) অক্ষের সাথে উৎপন্ন কোণ।

এখানে, \(\alpha = 30^\circ\)। সুতরাং, সরলরেখার সমীকরণ:

\(x \cos 30^\circ + y \sin 30^\circ = p\)
\(\Rightarrow x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + y \cdot \frac{1}{2} = p\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x + y = 2p\) --- (1)

এখন, সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়কে \(A\) ও \(B\) বিন্দুতে ছেদ করে। \(A\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \(\left(\frac{2p}{\sqrt{3}}, 0\right)\) এবং \(B\) বিন্দুর স্থানাঙ্ক \((0, 2p)\)।

অতএব, \(\triangle OAB\) এর ক্ষেত্রফল:

\(\frac{1}{2} \cdot \frac{2p}{\sqrt{3}} \cdot 2p = \frac{2p^2}{\sqrt{3}}\)

প্রশ্নমতে, \(\frac{2p^2}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}}\)
\(\Rightarrow 2p^2 = 50\)
\(\Rightarrow p^2 = 25\)
\(\Rightarrow p = \pm 5\)

সুতরাং, (1) নং সমীকরণ থেকে পাই, \(\sqrt{3}x + y = 2(\pm 5)\)
\(\Rightarrow \sqrt{3}x + y = \pm 10\)

অতএব, নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ \(\sqrt{3}x + y = \pm 10\)। 🎉