k এর মান কত হলে \( (3k+1)x^2 + (11+k)x+9=0 \) সমীকরণটির মুলদয় জটিল সংখ্যা হবে?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ হলো: \[ (3k+1)x^2 + (11 + k)x + 9 = 0 \] এখানে, \(a = 3k + 1\), \(b = 11 + k\), এবং \(c = 9\)। একটি দ্বিঘাত সমীকরণের মূলধন্যের গুণফল হল: \[ \Delta = b^2 - 4ac \] যেখানে, মূলধন্যের জটিল সংখ্যা হওয়ার জন্য দরকার হলো: \[ \Delta < 0 \] আসুন, \(\Delta\) এর মান নির্ণয় করি: \[ \Delta = (11 + k)^2 - 4(3k + 1)(9) \] প্রথমে, বর্গের মান: \[ (11 + k)^2 = 121 + 22k + k^2 \] অপরদিকে: \[ 4(3k + 1)(9) = 36(3k + 1) = 108k + 36 \] অতএব, \[ \Delta = 121 + 22k + k^2 - (108k + 36) = k^2 + 22k + 121 - 108k - 36 \] সরলীকরণ করি: \[ \Delta = k^2 + (22k - 108k) + (121 - 36) = k^2 - 86k + 85 \] মূলধন্যের জটিল সংখ্যা হওয়ার জন্য: \[ \Delta < 0 \] অর্থাৎ, \[ k^2 - 86k + 85 < 0 \] এটি একটি দ্বিঘাত অসমতা। এর শূন্যবিন্দু নির্ণয় করি: \[ k^2 - 86k + 85 = 0 \] সমাধান: \[ k = \frac{86 \pm \sqrt{86^2 - 4 \times 1 \times 85}}{2} \] গাণিতিক মান নির্ণয়: \[ 86^2 = 7396 \] \[ 4 \times 85 = 340 \] অতএব, \[ k = \frac{86 \pm \sqrt{7396 - 340}}{2} = \frac{86 \pm \sqrt{7056}}{2} \] সাধারণভাবে, \[ \sqrt{7056} = 84 \] (কারণ \(84^2 = 7056\)) অতএব, \[ k = \frac{86 \pm 84}{2} \] দুটি মান: \[ k_1 = \frac{86 + 84}{2} = \frac{170}{2} = 85 \] \[ k_2 = \frac{86 - 84}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] তাহলে, দ্বিঘাতের মানের জন্য: \[ k^2 - 86k + 85 < 0 \] এই অসমতা তখন সত্য হবে যখন: \[ k \text{ এর মান } (k_2, k_1) \text{ এর মধ্যে, অর্থাৎ } 1 < k < 85 \] **উত্তর:** \[ \boxed{ \text{মূলধন্যের জটিল সংখ্যা হওয়ার জন্য, } \quad 1 < k < 85 } \]