lim_(x->0)(e^x-1)/x=? 

Explanation:

Another Explanation (5):

প্রশ্ন: \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = ? \)

সমাধান:

আমরা এই লিমিটটি নির্ণয় করার জন্য কয়েকটি পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারি। এখানে সবচেয়ে প্রচলিত পদ্ধতিটি আলোচনা করা হলো:

পদ্ধতি ১: স্ট্যান্ডার্ড লিমিট ব্যবহার করে

আমরা জানি, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \) একটি স্ট্যান্ডার্ড লিমিট এবং এর মান 1 😊। সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \)

পদ্ধতি ২: ল'হপিটাল (L'Hôpital's) এর নিয়ম ব্যবহার করে

যেহেতু \( x \to 0 \) হলে \( e^x - 1 \to 0 \) এবং \( x \to 0 \), তাই এটি \( \frac{0}{0} \) আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ। এক্ষেত্রে আমরা ল'হপিটাল এর নিয়ম ব্যবহার করতে পারি। ল'হপিটাল এর নিয়ম অনুসারে, যদি \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} \) এর মান \( \frac{0}{0} \) অথবা \( \frac{\infty}{\infty} \) আকারের হয়, তবে: \( \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} \) এখানে, \( f(x) = e^x - 1 \) এবং \( g(x) = x \) তাহলে, \( f'(x) = e^x \) এবং \( g'(x) = 1 \) সুতরাং, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{1} = \frac{e^0}{1} = \frac{1}{1} = 1 \) 🎉

পদ্ধতি ৩: পাওয়ার সিরিজ ব্যবহার করে

আমরা \( e^x \) এর পাওয়ার সিরিজ প্রসারণ ব্যবহার করতে পারি: \( e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \) তাহলে, \( e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \) সুতরাং, \( \frac{e^x - 1}{x} = 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots \) এখন, \( x \to 0 \) হলে, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = \lim_{x \to 0} \left( 1 + \frac{x}{2!} + \frac{x^2}{3!} + \cdots \right) = 1 + 0 + 0 + \cdots = 1 \) 👍 অতএব, \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \) 😎