\( \vec{A} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k} \) ও \( \vec{B} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 3\hat{k} \) ভেক্টরদ্বয় সমান্তরাল হবে, a এর মান কত?

Explanation: \( \vec{A} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k} \) এবং \( \vec{B} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 3\hat{k} \) সমান্তরাল হবে যদি \( \vec{A} = k\vec{B} \) হয়। এজন্য সমীকরণটি হয়: \(\frac{2}{2} = \frac{-5}{a} = \frac{3}{3}\)। প্রথম দুটি অনুপাত থেকে পাই, \( a = -5 \)। সুতরাং সঠিক উত্তর A। অন্য অপশনগুলোর ক্ষেত্রে \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) সমান্তরাল হয় না। নোট: দুটি ভেক্টরের সমান্তরালতার জন্য তাদের উপাদানগুলোর অনুপাত সমান হতে হয়।

Another Explanation (5): যদি দুটি ভেক্টর \(\vec{A}\) ও \(\vec{B}\) সমান্তরাল হয়, তবে তাদের উপাংশগুলোর অনুপাত সমান হবে। অর্থাৎ: \[ \frac{A_x}{B_x} = \frac{A_y}{B_y} = \frac{A_z}{B_z} \] এখানে, \(\vec{A} = 2\hat{i} - 5\hat{j} + 3\hat{k}\) এবং \(\vec{B} = 2\hat{i} + a\hat{j} + 3\hat{k}\)। সুতরাং, \(A_x = 2\), \(A_y = -5\), \(A_z = 3\) \(B_x = 2\), \(B_y = a\), \(B_z = 3\) এখন, অনুপাতগুলো সমান লিখি: \[ \frac{2}{2} = \frac{-5}{a} = \frac{3}{3} \] প্রথম ও তৃতীয় অনুপাত থেকে আমরা পাই, \[ 1 = \frac{-5}{a} = 1 \] সুতরাং, \(\frac{-5}{a} = 1\) হবে। এখন \(a\) এর মান বের করি: \[ a = -5 \] অতএব, \(a\) এর মান \(-5\)। 🎉🥳