A=|(1,1,3),(5,2,6),(-2,-1,-3)|  যদি শূন্যঘাতি ম্যাট্রিক্স হয় তবে A এর order কত হবে ? 

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \( A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{vmatrix} \) একটি শূন্যঘাতী ম্যাট্রিক্স। A এর order নির্ণয় করতে হবে। আমরা জানি, কোনো ম্যাট্রিক্স শূন্যঘাতী (Nilpotent) হবে যদি \(A^k = 0\) হয়, যেখানে k একটি ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা। k এর ক্ষুদ্রতম মানকে ম্যাট্রিক্সটির index বলা হয়। প্রথমে, A ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক (determinant) বের করি: \( |A| = 1(2 \times -3 - 6 \times -1) - 1(5 \times -3 - 6 \times -2) + 3(5 \times -1 - 2 \times -2) \) \( |A| = 1(-6 + 6) - 1(-15 + 12) + 3(-5 + 4) \) \( |A| = 1(0) - 1(-3) + 3(-1) \) \( |A| = 0 + 3 - 3 \) \( |A| = 0 \) যেহেতু \( |A| = 0 \), তাই A একটি সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স। 🥳🥳 এখন, আমাদের দেখতে হবে A ম্যাট্রিক্সটি শূন্যঘাতী কিনা। যদি \(A^2 = 0\) হয়, তবে A একটি শূন্যঘাতী ম্যাট্রিক্স হবে। \( A^2 = A \times A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{vmatrix} \) \( A^2 = \begin{vmatrix} 1+5-6 & 1+2-3 & 3+6-9 \\ 5+10-12 & 5+4-6 & 15+12-18 \\ -2-5+6 & -2-2+3 & -6-6+9 \end{vmatrix} \) \( A^2 = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{vmatrix} \) যেহেতু \(A^2 \neq 0\), তাই \(A^2\) শূন্য ম্যাট্রিক্স নয়। 🤔 এখন \(A^3\) বের করি : \( A^3 = A \times A^2 = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 5 & 2 & 6 \\ -2 & -1 & -3 \end{vmatrix} \times \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 3 & 3 & 9 \\ -1 & -1 & -3 \end{vmatrix} \) \( A^3 = \begin{vmatrix} 0+3-3 & 0+3-3 & 0+9-9 \\ 0+6-6 & 0+6-6 & 0+18-18 \\ 0-3+3 & 0-3+3 & 0-9+9 \end{vmatrix} \) \( A^3 = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} \) সুতরাং, \(A^3 = 0\). 🥳 অতএব, A একটি শূন্যঘাতী ম্যাট্রিক্স এবং এর order 3.