ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের ক্ষেত্রে \( \beta = 3, -5 \) হলে, তা নিচের কোন ম্যাট্রিক্সের জন্য সত্য?

Another Explanation (5): প্রথমে, ম্যাট্রিক্সটি দেওয়া হয়েছে: \[ A = \begin{bmatrix} \beta + 2 & 3 \\ 5 & \beta \end{bmatrix} \] আমাদের জানানো হয়েছে যে, ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী (singular) অর্থাৎ এর ডিটারমিন্যান্ট শূন্য: \[ \det(A) = 0 \] অর্থাৎ, \[ \det(A) = (\beta + 2) \times \beta - (3 \times 5) = 0 \] এখন, এটি সমাধান করি: \[ (\beta + 2) \beta - 15 = 0 \] \[ \beta^2 + 2\beta - 15 = 0 \] এখন, এই কোয়াড্রাটিক সমীকরণটি সমাধান করি: \[ \beta^2 + 2\beta - 15 = 0 \] ফ্যাক্টরাইজেশন: \[ (\beta + 5)(\beta - 3) = 0 \] অর্থাৎ, \[ \beta = -5 \quad \text{অথবা} \quad \beta = 3 \] অতএব, ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্সের জন্য মানগুলো হলো \(\beta = 3, -5\)। উত্তর হিসাবে যা দেওয়া হয়েছে, সেটি এই মানগুলোর জন্য সত্য হয়। **সম্পূর্ণ সমাধান**:

\[
\boxed{
\det(A) = (\beta + 2)\beta - 15 = 0
}
\]
\[
\Rightarrow \beta^2 + 2\beta - 15 = 0
\]
\[
\Rightarrow (\beta + 5)(\beta - 3) = 0
\]
\[
\Rightarrow \beta = -5 \quad \text{or} \quad 3
\]