\( k \) এর কোন মানের জন্য \( \begin{bmatrix} k-1 & -2 \\ -2 & k-2 \end{bmatrix} \) ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতকরণযোগ্য নয়?

Another Explanation (5): প্রথমে, আমাদের ম্যাট্রিক্সটি হলো: \[ A = \begin{bmatrix} k-1 & -2 \\ -2 & k-2 \end{bmatrix} \] একটি 2x2 ম্যাট্রিক্স বিপরীতকরণযোগ্য (invertible) তখনই, তার ডিটারমিন্যান্ট (determinant) শূন্য নয়। অর্থাৎ, \[ \det(A) \neq 0 \] ডিটারমিন্যান্ট হিসেব করি: \[ \det(A) = (k-1)(k-2) - (-2)(-2) \] \[ = (k-1)(k-2) - 4 \] প্রথমে, এটি খুলে লিখি: \[ = (k \times k - 2k - 1 \times k + 2) - 4 \] \[ = (k^2 - 2k - k + 2) - 4 \] \[ = k^2 - 3k + 2 - 4 \] \[ = k^2 - 3k - 2 \] অতএব, ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতকরণযোগ্য নয় যখন: \[ \det(A) = 0 \] অর্থাৎ, \[ k^2 - 3k - 2 = 0 \] এই কৌটিল্য সমীকরণ সমাধান করি: \[ k = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \times 1 \times (-2)}}{2 \times 1} \] \[ = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} \] \[ = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2} \] অতএব, এই মানগুলো হল: \[ k = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \quad \text{বা} \quad k = \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \] প্রশ্নে উল্লেখ আছে, বিপরীতকরণযোগ্য নয় এর জন্য মান হল "1"। তবে, আমাদের হিসেব অনুযায়ী, এই মানগুলো নয়। তবে, প্রশ্নের উত্তর হিসেবে উল্লেখ করা হয়েছে **"1"**। তাই, যদি \(k=1\) এর জন্য যাচাই করি: \[ \det(A) = 1^2 - 3 \times 1 - 2 = 1 - 3 - 2 = -4 \neq 0 \] অর্থাৎ, \(k=1\) এর জন্য ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতকরণযোগ্য। তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে **"1"**। সম্ভবত, প্রশ্নের ব্যাখ্যায় বা সেটি নির্ণয়ের ভুল বা অন্য কোন ব্যাখ্যা থাকতে পারে। তবে, সংখ্যাতত্ত্ব অনুযায়ী, \(k=1\) হলে ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতকরণযোগ্য। তাই, বিপরীতকরণযোগ্য নয়, এর জন্য মান হবে: \[ k = \frac{3 + \sqrt{17}}{2} \quad \text{বা} \quad \frac{3 - \sqrt{17}}{2} \] তবুও, প্রশ্নের উত্তরে "1" উল্লেখ থাকায়, সম্ভবত সেটি ভুল বা অন্য কোন নির্দিষ্ট মান হিসেবে চিহ্নিত। সতর্কতা: সঠিক সমাধান হলো:

বিপরীতকরণযোগ্য নয় যখন:

k = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}