যদি x^y=e^(x-y) হয় তাহলে dy/(dx) এর মান কত?

Explanation:

Another Explanation (5): দেওয়া আছে, \(x^y = e^{x-y}\) উভয় পক্ষে স্বাভাবিক লগারিদম নিয়ে পাই, \(ln(x^y) = ln(e^{x-y})\) \(\implies y \cdot lnx = (x-y) \cdot ln(e)\) \(\implies y \cdot lnx = x - y\) [∵ ln(e) = 1] এখন, y এর মান বের করি, \(y \cdot lnx + y = x\) \(y(lnx + 1) = x\) \(y = \frac{x}{lnx + 1}\) এখন, \(\frac{dy}{dx}\) নির্ণয় করি। \(\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{lnx + 1}\right)\) এখানে, \(\frac{u}{v}\) এর অন্তরকলন সূত্র ব্যবহার করা যায়: \(\frac{d}{dx}\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2}\) এখানে, \(u = x\) এবং \(v = lnx + 1\) তাহলে, \(\frac{du}{dx} = 1\) এবং \(\frac{dv}{dx} = \frac{1}{x}\) সুতরাং, \(\frac{dy}{dx} = \frac{(lnx + 1)(1) - x(\frac{1}{x})}{(lnx + 1)^2}\) \(= \frac{lnx + 1 - 1}{(lnx + 1)^2}\) \(= \frac{lnx}{(lnx + 1)^2}\) অতএব, \(\frac{dy}{dx} = \frac{lnx}{(1+lnx)^2}\) 🥳