\( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \) এবং \( \vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \) হলে নিম্নের কোনটি সত্য?

দেওয়া ভেক্টরসমূহ:

\( \vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k} \)

\( \vec{b} = 3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k} \)

প্রথমে, \(\vec{a} + \vec{b}\) এবং \(\vec{a} - \vec{b}\) নির্ণয় করি:

\( \vec{a} + \vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) + (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \)

\( = (\hat{i} + 3\hat{i}) + (2\hat{j} - \hat{j}) + (-3\hat{k} + 2\hat{k}) \)

\( = 4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k} \)

এবং,

\( \vec{a} - \vec{b} = (\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k}) - (3\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) \)

\( = (\hat{i} - 3\hat{i}) + (2\hat{j} + \hat{j}) + (-3\hat{k} - 2\hat{k}) \)

\( = -2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k} \)

এখন, যথাক্রমে ডট প্রোডাক্ট নির্ণয় করি:

\( (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = (4\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}) \cdot (-2\hat{i} + 3\hat{j} - 5\hat{k}) \)

ডট প্রোডাক্টের সূত্র:

\( \vec{u} \cdot \vec{v} = u_x v_x + u_y v_y + u_z v_z \)

তাহলে,

\( = (4)(-2) + (1)(3) + (-1)(-5) \)

\( = -8 + 3 + 5 \)

\( = 0 \)

অতএব, উপরের বিবৃতিটি সত্য।