যদি tanθ=^y/_x হয়, তবে x cos2θ+y sin2θ এর মান কত?

দেওয়া আছে, \( \tan \theta = \frac{y}{x} \)। আমাদের \( x \cos 2\theta + y \sin 2\theta \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

আমরা জানি, \( \cos 2\theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta} \) এবং \( \sin 2\theta = \frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta} \)।

এখন, \( \tan \theta = \frac{y}{x} \) এই মানগুলো বসালে পাই,

\(\cos 2\theta = \frac{1 - (\frac{y}{x})^2}{1 + (\frac{y}{x})^2} = \frac{1 - \frac{y^2}{x^2}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac{\frac{x^2 - y^2}{x^2}}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\)

এবং

\(\sin 2\theta = \frac{2 (\frac{y}{x})}{1 + (\frac{y}{x})^2} = \frac{\frac{2y}{x}}{1 + \frac{y^2}{x^2}} = \frac{\frac{2y}{x}}{\frac{x^2 + y^2}{x^2}} = \frac{2xy}{x^2 + y^2}\)

সুতরাং,

\( x \cos 2\theta + y \sin 2\theta = x \cdot \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} + y \cdot \frac{2xy}{x^2 + y^2} \)

\(= \frac{x(x^2 - y^2) + y(2xy)}{x^2 + y^2} = \frac{x^3 - xy^2 + 2xy^2}{x^2 + y^2} = \frac{x^3 + xy^2}{x^2 + y^2} \)

\(= \frac{x(x^2 + y^2)}{x^2 + y^2} = x \)

অতএব, \( x \cos 2\theta + y \sin 2\theta = x \)। 🎉