xe^(x^2y)=y+cos^2x হলে, (0,0) বিন্দুতে dy/dx এর মান কত?

দেওয়া আছে, \( xe^{x^2y} = y + \cos^2x \) 🧐

এখন, উভয় পক্ষে x এর সাপেক্ষে অন্তরকলন করে পাই,

\(\frac{d}{dx}(xe^{x^2y}) = \frac{d}{dx}(y + \cos^2x)\)

\(\implies e^{x^2y} + x \cdot e^{x^2y} \cdot \frac{d}{dx}(x^2y) = \frac{dy}{dx} + 2\cos x \cdot (-\sin x)\)

\(\implies e^{x^2y} + xe^{x^2y} \cdot (2xy + x^2\frac{dy}{dx}) = \frac{dy}{dx} - 2\sin x \cos x\)

\(\implies e^{x^2y} + 2x^2ye^{x^2y} + x^3e^{x^2y}\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dx} - \sin 2x\)

\(\implies \frac{dy}{dx} (1 - x^3e^{x^2y}) = e^{x^2y} + 2x^2ye^{x^2y} + \sin 2x\)

\(\implies \frac{dy}{dx} = \frac{e^{x^2y} + 2x^2ye^{x^2y} + \sin 2x}{1 - x^3e^{x^2y}}\)

এখন, (0,0) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

\(\therefore \left(\frac{dy}{dx}\right)_{(0,0)} = \frac{e^{0} + 2 \cdot 0 \cdot e^{0} + \sin 0}{1 - 0 \cdot e^{0}}\)

\(= \frac{1 + 0 + 0}{1 - 0}\)

\(= \frac{1}{1} = 1\)

অতএব, (0,0) বিন্দুতে \(\frac{dy}{dx}\) এর মান 1। 🎉