একটি বৃত্ত মূল বিন্দু দিয়ে যায় এবং x ও y অক্ষ দুইটির ধনাত্মক দিক থেকে যথাক্রমে 3 ও 5 অংশ ছেদ করে। বৃত্তটির কেন্দ্র নিম্নের কোন রেখার উপর অবস্থিত? 

🤔 প্রশ্ন: একটি বৃত্ত মূল বিন্দু দিয়ে যায় এবং \(x\) ও \(y\) অক্ষ দুইটির ধনাত্মক দিক থেকে যথাক্রমে 3 ও 5 অংশ ছেদ করে। বৃত্তটির কেন্দ্র নিম্নের কোন রেখার উপর অবস্থিত? উত্তর: "x + y = 4"

✍️ সমাধান:

বৃত্তটি মূলবিন্দু (0, 0) এবং \(x\) অক্ষকে (3, 0) ও \(y\) অক্ষকে (0, 5) বিন্দুতে ছেদ করে।

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ: \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0\)

যেহেতু বৃত্তটি মূলবিন্দু দিয়ে যায়, তাই \(c = 0\)।

সুতরাং, সমীকরণটি হবে: \(x^2 + y^2 + 2gx + 2fy = 0\)

বৃত্তটি (3, 0) বিন্দুগামী, তাই:

\(3^2 + 0^2 + 2g \cdot 3 + 2f \cdot 0 = 0\)
\(9 + 6g = 0\)
\(g = -\frac{3}{2}\)

আবার, বৃত্তটি (0, 5) বিন্দুগামী, তাই:

\(0^2 + 5^2 + 2g \cdot 0 + 2f \cdot 5 = 0\)
\(25 + 10f = 0\)
\(f = -\frac{5}{2}\)

🎯 বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক \((-g, -f)\) = \(\left(\frac{3}{2}, \frac{5}{2}\right)\)

ধরি, কেন্দ্রটি \((x, y)\), তাহলে \(x = \frac{3}{2}\) এবং \(y = \frac{5}{2}\)

এখন, \(x + y = \frac{3}{2} + \frac{5}{2} = \frac{8}{2} = 4\)

অতএব, বৃত্তের কেন্দ্র \(x + y = 4\) রেখার উপর অবস্থিত। 🥳