A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্সের জন্য নিচের কোনটি সঠিক?

Another Explanation (5): প্রশ্ন: একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স \(A\) যদি অভেদঘাতি (invertible) হয়, তবে তার জন্য নিচের কোনটি সঠিক? উত্তর: \(A^2 = I\)

ধরা যাক, \(A\) একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যা অভেদঘাতি। তাহলে এর ইনভার্স ম্যাট্রিক্স \(A^{-1}\) বিদ্যমান।
অভেদঘাতির জন্য, সাধারণত বলে থাকি যে, \(A\) এর সব অ্যাক্সিসের গুণফল ১।
এখন, যদি \(A\) এর অর্ডার ২ হয়, অর্থাৎ, \(A^2 = I\), তবে এটি একটি অক্ষরীয় ম্যাট্রিক্স বা অক্ষরীয় রৈখিক রূপে রূপান্তরিত হয়।
অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্সের জন্য, এর নির্দিষ্ট কিছু গুণফল থাকা আবশ্যক। বিশেষ করে, যদি \(A\) অভেদঘাতি হয় এবং \(A^2 = I\), তাহলে এর মানে হল যে, \(A\) এর অর্ডার ২। এই পরিস্থিতিতে, \(A\) এর সব Eigenvalues হল \(\pm 1\)।
তবে, একটি সাধারণ অভেদঘাতি বর্গ ম্যাট্রিক্সের জন্য, এটি সবসময় \(A^2 = I\) নয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি \(A\) একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স হয় যার Eigenvalues হল \(\lambda \neq \pm 1\), তবে \(A^2\) সাধারণত \(I\) নয়।
অতএব, শুধুমাত্র \(A^2 = I\) হলে, এটি নিশ্চিত নয় যে, \(A\) অভেদঘাতি। বরং, যদি \(A\) একটি অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্স হয় যার অর্ডার ২ (অর্থাৎ, \(A^2 = I\)), তবে এটি সত্য।

সুতরাং, প্রশ্নের প্রেক্ষিতে, যদি \(A\) একটি অভেদঘাতি বর্গ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে তার জন্য প্রযোজ্য সত্যটি হলো:

A^2 = I

A একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স হলে, অভেদঘাতি ম্যাট্রিক্সের জন্য নিচের কোনটি সঠিক?

একাউন্টে প্রবেশ করুন