x^y=e^(x+y)  হলে  dy/dx=? 

Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( x^y = e^{x + y} \) হলে \( \frac{dy}{dx} \) নির্ণয় করো। সমাধান: প্রথমে সমীকরণের উভয় পাশে লঘুপ্রবাহ (logarithm) নেব: \[ \ln(x^y) = \ln\left( e^{x + y} \right) \] বিবর্তন করলে: \[ y \ln x = x + y \] এখন, এই সমীকরণ থেকে \( y \) এর উপর নির্ভরশীল অংশগুলো আলাদা করব: \[ y \ln x - y = x \] \(\Rightarrow y (\ln x - 1) = x\) অতএব, \[ y = \frac{x}{\ln x - 1} \] এখন, এই সমীকরণ থেকে \( y \) এর উপর ডিফারেনশিয়াল নেব: \[ y = \frac{x}{\ln x - 1} \] প্রয়োগ করো ডিফারেনশিয়াল রুল: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{ (\ln x - 1) \cdot 1 - x \cdot \frac{1}{x} }{ (\ln x - 1)^2 } \] প্রথমে, ডানপাশে উপরের অংশের ডিফারেনশিয়াল: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{ (\ln x - 1) - 1 }{ (\ln x - 1)^2 } \] এখানে, \( \frac{d}{dx} (\ln x) = \frac{1}{x} \), তাই: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{ \ln x - 2 }{ (\ln x - 1)^2 } \] অথবা, প্রথম সমীকরণে ফিরে গিয়ে সরাসরি ডিফারেনশিয়াল ব্যবহার করলে: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{ (x \cdot \frac{1}{x}) - y (\frac{1}{x}) }{ (\ln x - 1) } \] তবে, মূল সূত্র অনুযায়ী: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x (\ln x - 1)} \] উপসংহার: \[ \boxed{\frac{dy}{dx} = \frac{x - y}{x (\ln x - 1)}} \]