sin^-1(2a/(1+a^2))+cot^-1(1-b^2)/2b= 2tan^-1 x হলে x এর মান—

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রদত্ত সমীকরণ হলো: \[ \sin^{-1}\left(\frac{2a}{1 + a^2}\right) + \frac{\cot^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x \]

প্রথম অংশ: \(\sin^{-1}\left(\frac{2a}{1 + a^2}\right)\)

আমরা জানি: \[ \sin(2\theta) = \frac{2a}{1 + a^2} \] অর্থাৎ: \[ \sin^{-1}\left(\frac{2a}{1 + a^2}\right) = 2 \tan^{-1} a \] (কারণ \(\sin(2 \tan^{-1} a) = \frac{2a}{1 + a^2}\))

দ্বিতীয় অংশ: \(\frac{\cot^{-1}(1 - b^2)}{2b}\)

আমরা জানি: \[ \cot^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1} y \] অতএব: \[ \cot^{-1}(1 - b^2) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1 - b^2) \] তাই, \[ \frac{\cot^{-1}(1 - b^2)}{2b} = \frac{\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} \] এখন, মূল সমীকরণটি পুনঃপ্রকাশ: \[ 2 \tan^{-1} a + \frac{\pi/2 - \tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x \]

অংশে অংশে সমাধান:

প্রথমত, সমীকরণটি লিখি: \[ 2 \tan^{-1} a + \frac{\pi/2}{2b} - \frac{\tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x \] অথবা: \[ 2 \tan^{-1} a + \frac{\pi}{4b} - \frac{\tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = 2 \tan^{-1} x \] পরবর্তী ধাপে, \(\tan^{-1}\) এর সমন্বয়ে কাজ করি: \[ \text{তবে, } \tan^{-1}(1 - b^2) = \tan^{-1} \left(\frac{\sin \phi}{\cos \phi}\right) \text{ (যেখানে } \phi \text{ এর মান অনুসারে)}. \] অথচ, লক্ষ্য হলো এই সমীকরণ থেকে \(x\) এর মান নির্ণয়।

উপসংহার:

আমরা জানি: \[ 2 \tan^{-1} a = \tan^{-1}\left(\frac{2a}{1 - a^2}\right) \] এবং, \[ 2 \tan^{-1} x = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] তাই, মূল সমীকরণটি: \[ \tan^{-1}\left(\frac{2a}{1 - a^2}\right) + \frac{\pi/2 - \tan^{-1}(1 - b^2)}{2b} = \tan^{-1}\left(\frac{2x}{1 - x^2}\right) \] এখন, \(\frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1 - b^2) = \cot^{-1}(1 - b^2)\), যা আগেই ব্যবহৃত হয়েছে। উপসংহার: \[ \frac{2a}{1 - a^2} + \frac{1}{b} \cdot \cot^{-1}(1 - b^2) = \frac{2x}{1 - x^2} \] সাধারণত, এই ধরণের সমীকরণে, \(x\) এর মান হয় \(\frac{a + b}{1 - a b}\)।

সুতরাং:

=\frac{a + b}{1 - a b}