\( 3x^2 + 3y^2 – 5x - 6y + 4 = 0 \) বৃত্তটির কেন্দ্র-

প্রশ্নঃ

\( 3x^2 + 3y^2 – 5x - 6y + 4 = 0 \) বৃত্তটির কেন্দ্র নির্ণয় করো।

সমাধানঃ

প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ রূপে নিয়ে আসি।

\( 3x^2 + 3y^2 – 5x - 6y + 4 = 0 \)

প্রথমে, সমীকরণের প্রতিটি সদস্যকে ৩ দ্বারা ভাগ করি, যাতে করে কোঅর্ডিনেটের গুণফল সহজ হয়।

\( x^2 + y^2 - \frac{5}{3}x - 2y + \frac{4}{3} = 0 \)

এখন, সমীকরণকে পুনরায় সাজানো যায়:

\( x^2 - \frac{5}{3}x + y^2 - 2y = - \frac{4}{3} \)

এখন, প্রতিটি পরিবর্তনশীলের জন্য সম্পূর্ণ বর্গ সম্পন্ন করি।

x-অক্ষের জন্য:

\( x^2 - \frac{5}{3}x \)

সম্পূর্ণ বর্গের জন্য, \(\left( x - \frac{a}{2} \right)^2 = x^2 - a x + \frac{a^2}{4} \)

এখানে, \(a = \frac{5}{3}\), তাই:
\[
\left( x - \frac{5}{6} \right)^2 = x^2 - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36}
\]

y-অক্ষের জন্য:

\( y^2 - 2 y \)

এখানে, \(b = 2\), তাই:
\[
\left( y - 1 \right)^2 = y^2 - 2 y + 1
\]

অতএব, সমীকরণটি পরিবর্তিত হয়:

\[
\left( x - \frac{5}{6} \right)^2 - \frac{25}{36} + \left( y - 1 \right)^2 - 1 = - \frac{4}{3}
\]

অর্থাৎ,

\[
\left( x - \frac{5}{6} \right)^2 + \left( y - 1 \right)^2 = - \frac{4}{3} + \frac{25}{36} + 1
\]

রাখা মানগুলো যোগ করি:

\[
- \frac{4}{3} + \frac{25}{36} + 1
\]

প্রথমে, \(- \frac{4}{3}\) কে 36-এ রূপান্তর করি:
\[
- \frac{4}{3} = - \frac{48}{36}
\]

অতঃপর,
\[
- \frac{48}{36} + \frac{25}{36} + \frac{36}{36} = \frac{-48 + 25 + 36}{36} = \frac{13}{36}
\]

অতএব, বৃত্তের সমীকরণ হয়:
\[
\left( x - \frac{5}{6} \right)^2 + \left( y - 1 \right)^2 = \frac{13}{36}
\]